TEMA 1: Números complejos

1. El número complejo y sus operaciones

Un número complejo es de la forma

z = a + b i, a, b \in R, i^{2} = - 1.

Parte real: $ℜ (z) = a$
Parte imaginaria: $ℑ (z) = b$

Representación: el plano complejo (plano de Argand), donde $a$ se ubica en el eje horizontal y $b$ en el vertical.

Suma y resta

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i .

Producto

(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i .

Se aplica distributiva y $i^{2} = - 1$ .

Conjugado

\overset{―}{z} = a - b i .

Propiedad importante:

$z \overset{―}{z} = a^{2} + b^{2} \in R$

División.
Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{c^{2} + d^{2}} .

Dicho de otra forma:
$\frac{1}{z} = \frac{\overset{―}{z}}{| z |^{2}}$ (si $z \neq 0$ )

Potencias de números complejos.
Para exponentes pequeños se desarrolla con binomio o distributiva.
Ejemplo:

(1 + i)^{2} = 2 i, (1 + i)^{4} = - 4.

Pero, en general, no tiene sentido hacerlo así. Se usa la fórmula de De Moivre, una vez que entendamos la forma polar.

2. Forma polar de un complejo

Un número complejo $z = a + b i$ puede interpretarse como un vector, y por tanto podrá representarse como:

z = r (\cos θ + i \sin θ),

donde:

$r = | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ es el módulo, es decir, la distancia al origen.
$θ = \arg (z)$ es el argumento, es decir, el ángulo que forma el vector con el eje real, medido en sentido antihorario.

También se denotará por $z = r e^{i θ}$ , o bien $r_{θ}$ .

Requisito

Se supone $z \neq 0$ . Si $z = 0$ no hay módulo que calcular más que $0$ , y el argumento no existe: el origen no tiene dirección.

Cómo calcular el argumento en 3 pasos

El módulo sale directamente de $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . El argumento se calcula siempre con la misma receta de 3 pasos:

Mira el signo de $a$ (la parte real). Si $a > 0$ , el vector está a la derecha del eje imaginario; si $a < 0$ , a la izquierda.
Aplica el cociente $\frac{b}{a}$ y la función $\arctan$ :

θ = {\begin{cases} \arctan (\frac{b}{a}) & si a > 0 \\ \arctan (\frac{b}{a}) + 180^{\circ} & si a < 0 \end{cases}

Si $a = 0$ , no hay cociente que hacer, pero tampoco hay cálculo: $z$ está en el eje imaginario, así que

θ = {\begin{cases} 90^{\circ} & si b > 0 \\ 270^{\circ} & si b < 0 \end{cases}

Ojo

Algunas calculadoras científicas traen la función atan2(b, a), que hace los tres pasos de golpe. Conviene saber usarla, pero saber por qué funciona es lo que evita los errores.

Ejemplos resueltos: de la forma binómica a la polar

1º cuadrante. $z = 1 + \sqrt{3} i$ → $a = 1 > 0$ , $b = \sqrt{3} > 0$ .

| z | = \sqrt{1 + 3} = 2, θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{1}) = 60^{\circ} = \frac{π}{3}

z = 2 e^{i π / 3} = 2 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 1 + \sqrt{3} i ✓

2º cuadrante. $z = - \sqrt{3} + i$ → $a = - \sqrt{3} < 0$ , $b = 1 > 0$ .

| z | = \sqrt{3 + 1} = 2, θ = \arctan (\frac{1}{- \sqrt{3}}) + 180^{\circ} = - 30^{\circ} + 180^{\circ} = 150^{\circ} = \frac{5 π}{6}

z = 2 e^{i 5 π / 6} = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) = - \sqrt{3} + i ✓

3º cuadrante. $z = - 1 - i$ → $a = - 1 < 0$ , $b = - 1 < 0$ .

| z | = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, θ = \arctan (\frac{- 1}{- 1}) + 180^{\circ} = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ} = \frac{5 π}{4}

z = \sqrt{2} e^{i 5 π / 4} = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i) = - 1 - i ✓

4º cuadrante. $z = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$ → $a = \sqrt{2} > 0$ , $b = - \sqrt{2} < 0$ .

| z | = \sqrt{2 + 2} = 2, θ = \arctan (\frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = - 45^{\circ}

Aquí aparece negativo:

θ = - 45^{\circ} + 360^{\circ} = 315^{\circ} = \frac{7 π}{4}, z = 2 e^{i 7 π / 4} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i ✓

Eje imaginario. $z = - 7 i$ → $a = 0$ , $b = - 7 < 0$ .

| z | = 7, θ = 270^{\circ} = \frac{3 π}{2} ✓

El argumento no es un rumbo

Trabajaremos con $[0, 360^{\circ})$ , que es lo natural en navegación. Pero ojo, los rumbos se miden en sentido horario desde el Norte. El argumento se mide en sentido antihorario desde el Este. Si un buque navega con rumbo $β$ , el desplazamiento tiene argumento $θ = 90^{\circ} - β$ .

3. De la forma polar a la forma binómica

El paso inverso es inmediato: basta distribuir el módulo,

z = r (\cos θ + i \sin θ) = r \cos θ + r \sin θ i,

de modo que $a = r \cos θ$ y $b = r \sin θ$ .

Por ejemplo, el complejo del primer ejemplo, $z = 2 e^{i π / 3} = 2 e^{i 60^{\circ}}$ , pasa a binómica sustituyendo:

z = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) = 2 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 1 + \sqrt{3} i ✓

4. Operaciones en forma polar

Conjugado (con $- θ$ entendido módulo $360^{\circ}$ ):

\overset{―}{z} = r e^{- i θ} = r (\cos (- θ) + i \sin (- θ)) .

Producto:

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})} = r_{1} r_{2} (\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})) .

Cociente:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})) .

Potencias (De Moivre):

z^{n} = r^{n} e^{i n θ} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ)) .

Con De Moivre, calcular potencias deja de ser un desarrollo gigante. El paso clave es pasar el número a forma polar; una vez escrito como $r e^{i θ}$ , la potencia es solo elevar el módulo a $n$ y multiplicar el argumento por $n$ .
Ejemplo.

(1 + i)^{4} = {(\sqrt{2} e^{i π / 4})}^{4} = (\sqrt{2})^{4} e^{i 4 π / 4} = 4 e^{i π} = 4 (- 1 + 0 i) = - 4 ✓

Ejercicios