TEMA 2: Cálculo diferencial e integral en una variable

1. Funciones, Límites y Continuidad

Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto A (el dominio) un único elemento $y$ de un conjunto B (el codominio). Lo escribimos como $f : A \to B$ y $y = f (x)$ .

Dominio ( $D o m (f)$ ): El conjunto de todos los valores de entrada $x$ para los cuales la función está definida.
Imagen o Recorrido ( $I m (f)$ ): El conjunto de todos los valores de salida $y$ que la función puede producir.

El límite de una función $f (x)$ cuando $x$ se acerca a un punto $c$ es el valor $L$ al que la función se aproxima. Es una idea de "aproximación" y no necesariamente el valor que toma la función en el punto, pues podría incluso no estar definida en $c$ .
Se denota como:

lim_{x \to c} f (x) = L

Una función $f (x)$ es continua en un punto $x = c$ si cumple tres condiciones:

Existe $f (c)$ (la función está definida en el punto).
Existe $lim_{x \to c} f (x)$ (el límite existe).
$lim_{x \to c} f (x) = f (c)$ (el límite y el valor de la función coinciden).

Intuitivamente, una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

Cálculo de Límites e Indeterminaciones:
La mayoría de los límites se pueden resolver por sustitución directa. Sin embargo, a menudo nos encontramos con indeterminaciones, formas que no tienen un valor definido y requieren más análisis:

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}

2. Concepto de Derivada

La derivada de una función $f (x)$ en un punto $x$ , denotada como $f^{'} (x)$ o $\frac{d y}{d x}$ , se define formalmente como el límite:

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Interpretación geométrica: La derivada $f^{'} (c)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $y = f (x)$ en el punto $(c, f (c))$ . Una derivada positiva indica que la función crece, una negativa que decrece, y una nula puede indicar un máximo o un mínimo.
Interpretación física: Si $s (t)$ es la posición de un objeto en el tiempo $t$ , la derivada $s^{'} (t)$ es la velocidad instantánea del objeto. La segunda derivada, $s^{″} (t)$ , es la aceleración instantánea.
Interpretación general: Mide la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

2.1. Reglas de Derivación y Tabla de Derivadas

Es fundamental conocer las reglas para derivar combinaciones de funciones y las derivadas de las funciones elementales.

Linealidad: $(α f + β g)^{'} = α f^{'} + β g^{'}$ .

Regla del Producto: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
Regla del Cociente: ${(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}}$ .
Regla de la Cadena: Si $y = f (u)$ y $u = g (x)$ , entonces $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ . Esencial para derivar funciones compuestas.

Función $f (x)$	Derivada $f^{'} (x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^{n}$	$n \cdot x^{n - 1}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} \ln a$
$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$
$\log_{a} (x)$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$- \sin (x)$
$\tan (x)$	$\sec^{2} (x)$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Ejemplos.

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

1. $f (x) = 3 x$	11. $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x}$
2. $f (x) = x^{3}$	12. $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$
3. $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 7$	13. $f (x) = e^{2 x}$
4. $f (x) = \frac{1}{x}$	14. $f (x) = \sin (x^{2})$
5. $f (x) = \sqrt{x}$	15. $f (x) = \ln (\sqrt{x})$
6. $f (x) = e^{x} + 2 x$	16. $f (x) = (3 x + 1) \cos (x)$
7. $f (x) = \ln (x)$	17. $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$
8. $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$	18. $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$
9. $f (x) = x \cdot e^{x}$	19. $f (x) = e^{\sin (x)}$
10. $f (x) = x^{2} \sin (x)$	20. $f (x) = \ln (x^{2} + 3 x)$

2.2. Regla de L'Hôpital

Es una herramienta muy útil para resolver indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$ .

Si $lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = 0$ (o ambos son $\pm \infty$ ), entonces:

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

¡Importante! Solo se puede aplicar a cocientes y después de haber verificado la indeterminación.

Ejemplo: Calcular $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$ .
Es una indeterminación $\frac{0}{0}$ . Aplicando L'Hôpital:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} = \frac{\cos (0)}{1} = 1

Más ejemplos

\begin{aligned} 1. & lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} & 6. & lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} \\ 2. & lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} & 7. & lim_{x \to 0^{+}} x \ln x \\ 3. & lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} & 8. & lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} \\ 4. & lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} & 9. & lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^{3}} \\ 5. & lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} & 10. & lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} \end{aligned}

3. La Integral Indefinida

1. Función Primitiva (Antiderivada)

Una función $F (x)$ es una primitiva o antiderivada de $f (x)$ si se cumple que $F^{'} (x) = f (x)$ . Por ejemplo, $F (x) = x^{3}$ es una primitiva de $f (x) = 3 x^{2}$ .

La integral indefinida de una función $f (x)$ , denotada como $\int f (x) d x$ , es el conjunto de todas sus primitivas. Como la derivada de una constante es cero, si $F (x)$ es una primitiva, también lo es $F (x) + C$ para cualquier constante $C$ .

\int f (x) d x = F (x) + C

Donde $C$ es la constante de integración.

2. Métodos Básicos de Integración

Integrales Inmediatas: Se resuelven directamente a partir de la tabla de derivadas (leída "al revés").
- $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq - 1)$
- $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$
- $\int e^{x} d x = e^{x} + C$
- $\int \cos (x) d x = \sin (x) + C$

Inmediatas avanzadas: con regla cadena

Integración por Sustitución (Cambio de Variable): Se utiliza para simplificar el integrando. Se basa en la regla de la cadena. $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u, con u = g (x)$
Integración por Partes: Se usa para integrar productos de funciones. Se basa en la regla del producto. $\int u d v = u \cdot v - \int v d u$ Un truco para elegir $u$ : LIATE (Logarítmicas, Inversas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales).

3. Integración de Funciones Racionales (casos sencillos)

Una función racional es un cociente de polinomios:

R (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

Para integrarla, primero se intenta descomponerla en fracciones parciales siempre que:

El grado del numerador sea menor que el del denominador (si no, primero se divide).
El denominador se pueda factorizar.

Según el tipo de factores del denominador, distinguimos:

Raíces reales simples
$\frac{P (x)}{(x - a) (x - b)} \Rightarrow \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$
Raíces reales múltiples
$\frac{P (x)}{(x - a)^{n}} \Rightarrow \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{(x - a)^{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{(x - a)^{n}}$
Raíces cuadráticas irreducibles (complejas) — Tema 1
$\frac{A x + B}{x^{2} + a^{2}} \Rightarrow A \frac{x}{x^{2} + a^{2}} + B \frac{1}{x^{2} + a^{2}}$
El primer término se integra mediante logaritmo y el segundo mediante arctangente.

Ejemplo 1: Raíces simples

\int \frac{3 x + 1}{x^{2} - x} d x

Factorizamos:

x^{2} - x = x (x - 1)

Descomposición:

\frac{3 x + 1}{x (x - 1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}

Integración:

\int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}) d x = \ln | x | + 2 \ln | x - 1 | + C

Ejemplo 2: Raíz doble

\int \frac{2 x + 1}{x^{2}} d x

Descomposición:

\frac{2 x + 1}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}

Integración:

2 \ln | x | - \frac{1}{x} + C

Ejemplo 3: Denominador cuadrático irreducible (arctangente)

\int \frac{1}{x^{2} + 4} d x

Usamos:

\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan (\frac{x}{a}) + C

Entonces:

\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C

4. La Integral Definida y sus Aplicaciones

1. Integral de Riemann (Definida)

La integral definida de una función $f (x)$ en un intervalo $[a, b]$ , denotada como $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , representa el área neta entre la gráfica de la función y el eje x. Se define como el límite de una suma de áreas de rectángulos (Suma de Riemann).

2. Teorema Fundamental del Cálculo

Este teorema es el pilar que conecta el cálculo diferencial y el integral. Establece que la derivación y la integración son operaciones inversas.

3. Regla de Barrow

Es la consecuencia práctica del Teorema Fundamental del Cálculo y nos permite calcular integrales definidas de forma sencilla. Si $F (x)$ es cualquier primitiva de $f (x)$ , entonces:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Ejemplo: Calcular el área bajo la curva $y = x^{2}$ desde $x = 0$ hasta $x = 2$ .
El área viene dada por la integral definida:

A = \int_{0}^{2} x^{2} d x

Encontramos una primitiva de $x^{2}$ : $F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ .
Aplicamos la Regla de Barrow:

A = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}

El área es $\frac{8}{3}$ unidades cuadradas.

Ejercicios