Tema 3: Sucesiones y Series

Sucesiones reales y límites

Definiciones

Sucesión real: aplicación $a : N \to R$ , se escribe $(a_{n})$ .
Convergencia: $(a_{n}) \to L$ si $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ .
Divergencia: el límite no existe (oscilante) o es infinito.

Cálculo de límites

Cociente de polinomios: divide numerador y denominador por la mayor potencia de $n$ .
Ejemplo:
$\frac{5 n^{3} + 2}{2 n^{3} - 7 n} \to \frac{5}{2}$ .
Comparaciones: si $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ y $lim b_{n} = 0$ , entonces $lim a_{n} = 0$ .
Ejemplo: $0 \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \to 0 ⟹ lim \frac{\sin n}{n} = 0$ .
Racionalización: útil con raíces.
Ejemplo: $lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + 3 n} - n) = lim \frac{3 n}{\sqrt{n^{2} + 3 n} + n} = \frac{3}{2}$ .

Límites notables

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e, lim_{n \to \infty} r^{n} = {\begin{cases} 0 & | r | < 1 \\ \infty & r > 1. \end{cases}

Ejemplos
$\frac{n^{2} + 1}{3 n^{2} - 2} \to \frac{1}{3}$ .
$\sqrt{n^{2} + 1} - n \to 0$ .

Series reales y sumas exactas

Definición

Serie: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .
Converge si la sucesión de sumas parciales converge.

Condición necesaria

Si $\sum a_{n}$ converge, entonces $lim a_{n} = 0$ .
Ejemplo: $a_{n} = \frac{1}{2 n + 1} \to 0$ (posible convergencia);
en cambio, $a_{n} = \frac{1}{n + 2}$ sí tiende a 0, pero la serie $\sum \frac{1}{n + 2}$ diverge como la armónica.

Series fundamentales

Geométrica: $\sum a r^{n}$ . Converge si $| r | < 1$ , suma $= \frac{a}{1 - r}$ .
Ejemplo: $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ .
Armónica: $\sum \frac{1}{n}$ diverge, $\sum \frac{1}{n^{p}}$ converge si $p > 1$ .

Sumas exactas de series: Geométricas o combinaciones lineales de geométricas.
Ejemplo: $\sum (3 \cdot {0.3}^{n} + 2 \cdot {0.8}^{n})$ .

Criterios de convergencia para series de términos positivos

Criterio de comparación

Si $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ y $\sum b_{n}$ converge, también $\sum a_{n}$ .
Ejemplo: $a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 5}$ , $b_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ . Como $\sum b_{n}$ converge, también $\sum a_{n}$ .

Criterio de comparación límite

Si $lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = c \in (0, \infty)$ , ambas series tienen el mismo carácter.
Ejemplo: $a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1}$ , $b_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ , límite $= 1$ , ambas convergen.

Criterio del cociente (d’Alembert)

L = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

$L < 1$ : converge.
$L > 1$ : diverge.
$L = 1$ : no concluye.

Ejemplo: $a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$ .
$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \frac{n^{n}}{n!} = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} \to e^{- 1} < 1$ , converge.

Criterio de la raíz (Cauchy)

L = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |}

$L < 1$ : converge.
$L > 1$ : diverge.
$L = 1$ : no concluye.
Ejemplo: $a_{n} = {(\frac{3}{5})}^{n}$ , raíz $\to \frac{3}{5} < 1$ , converge.
Ejemplo: $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ , raíz $\to \frac{1}{2} < 1$ , converge.

Series de potencias y desarrollos de Taylor

Series de potencias

Forma: $\sum a_{n} (x - x_{0})^{n}$ .
Converge en un intervalo $(x_{0} - R, x_{0} + R)$ .
Radio $R$ :

R = \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{| a_{n} |}} .

Permiten definir nuevas funciones y re-expresar otras.

Ejemplo
Serie geométrica: $\sum x^{n} = \frac{1}{1 - x}, | x | < 1$ .

Teorema de Taylor

Para $f$ derivable:

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} + R_{n} (x) .

Series de McLaurin (desarrollo en $x_{0} = 0$ )

$e^{x} = \sum \frac{x^{n}}{n!}$ .
$\sin x = \sum (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ .
$\cos x = \sum (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ .
$\ln (1 + x) = \sum (- 1)^{n + 1} \frac{x^{n}}{n}, | x | < 1$ .

Ejemplo aplicado

Aproximar $\ln (1.1)$ usando los tres primeros términos:
$\ln (1 + x) \approx x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$ con $x = 0.1$ :
$\ln (1.1) \approx 0.1 - 0.005 + 0.000333 = 0.09533$ (valor real $0.09531$ ).

Ejercicios