Tema 7: Sistemas de EDOs

Introducción

Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) son una herramienta fundamental para modelar fenómenos donde múltiples variables interactúan entre sí. Estos sistemas describen cómo evolucionan en el tiempo varias funciones incógnitas cuyos comportamientos están interconectados.
Ejemplos:

Ecología: Dinámica de poblaciones de especies que compiten o cooperan.
Química: Reacciones químicas con múltiples reactivos y productos acoplados.
Física: Sistemas mecánicos con grados de libertad interdependientes.

Ejemplo
Lotka-Volterra.
Considera un sistema depredador-presa con dos poblaciones: presas $x (t)$ y depredadores $y (t)$ . La dinámica se rige por las constantes $a, b, c, d > 0$ , donde:

$a$ : tasa de crecimiento de las presas,
$b$ : tasa de depredación,
$c$ : tasa de muerte de los depredadores,
$d$ : tasa de crecimiento de los depredadores por consumo de presas.

El sistema resultante es:

{\begin{cases} x^{'} (t) = a x (t) - b x (t) y (t), \\ y^{'} (t) = - c y (t) + d x (t) y (t) . \end{cases}

Ejemplo
Considera la interconversión reversible entre dos especies químicas $X$ e $Y$ , con concentraciones $x (t)$ e $y (t)$ , respectivamente. La dinámica se rige por las constantes de velocidad $k_{1}$ y $k_{2}$ para las reacciones $X \to Y$ y $Y \to X$ :

X \underset{k_{2}}{\overset{k_{1}}{⇌}} Y

El sistema resultante es:

{\begin{cases} x^{'} (t) = - k_{1} x (t) + k_{2} y (t), \\ y^{'} (t) = k_{1} x (t) - k_{2} y (t) . \end{cases}

En este tema, nos centraremos en sistemas lineales homogéneos de orden dos con coeficientes constantes, es decir, sistemas de la forma:

{\begin{cases} x^{'} (t) = a x (t) + b y (t), \\ y^{'} (t) = c x (t) + d y (t), \end{cases}

donde $a, b, c, d$ son constantes.

Interpretación geométrica
Gráficamente, los sistemas de EDOs pueden interpretarse como un campo de flechas en el espacio $(x, y)$ de variables del sistema. El dato inicial $(x_{0}, y_{0})$ es un punto del plano $(x, y)$ , y la solución particular correspondiente sería la trayectoria que seguiría una partícula dejada caer en $(x_{0}, y_{0})$ y arrastrada por un viento descrito por las flechas del sistema.
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Sistemas homogéneos: forma general

Un sistema de EDOs lineales homogéneo de orden 2 con coeficientes constantes se puede escribir en la forma:

X^{'} = A X

donde:

$X = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix})$ es el vector de funciones incógnita.
$A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ es una matriz constante.

La solución depende de los autovalores ( $λ$ ) y autovectores ( $v$ ) de $A$ .

Caso 1: matriz diagonalizable (autovalores reales y distintos)

Autovalores: $λ_{1} \neq λ_{2}$ (reales).
Autovectores: $v_{1}$ y $v_{2}$ asociados a $λ_{1}$ y $λ_{2}$ .
Solución General: $X (t) = C_{1} e^{λ_{1} t} v_{1} + C_{2} e^{λ_{2} t} v_{2}$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ , con $λ_{1} = 2$ , $λ_{2} = - 2$ , y autovectores $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ , entonces: $X (t) = C_{1} e^{2 t} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{- 2 t} (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) .$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ , con $λ_{1} = 3$ , $λ_{2} = - 1$ , y autovectores $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ , entonces: $X (t) = C_{1} e^{3 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{- t} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 1 & - 3 \end{matrix})$ , con $λ_{1} = - 2$ , $λ_{2} = - 4$ , y autovectores $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ , entonces: $X (t) = C_{1} e^{- 2 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{- 4 t} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .$

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Diferentes casos:

dos autovalores positivos: es una fuente
dos autovalores negativos: es un sumidero
uno positivo y otro negativo: es un punto de silla

Caso 2: autovalores complejos

Autovalores: $λ = α \pm i β$ .
Autovector: $v = u \pm i w$ , donde $u$ y $w$ son vectores reales.
Solución General: $X (t) = e^{α t} (C_{1} (u \cos (β t) - w \sin (β t)) + C_{2} (w \cos (β t) + u \sin (β t)))$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 4 & 4 \\ - 1 & 4 \end{matrix})$ , con $λ = 4 \pm 2 i$ y autovector $(\begin{matrix} 1 \\ \frac{i}{2} \end{matrix})$ , entonces $u = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $w = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$ . La solución es: $X (t) = e^{4 t} (C_{1} (\begin{matrix} \cos (2 t) \\ - \frac{1}{2} \sin (2 t) \end{matrix}) + C_{2} (\begin{matrix} \sin (2 t) \\ \frac{1}{2} \cos (2 t) \end{matrix})) .$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$ , con $λ = \pm i$ y autovector $(\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ , entonces $u = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $w = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ . La solución es: $X (t) = C_{1} (\begin{matrix} \cos (t) \\ - \sin (t) \end{matrix}) + C_{2} (\begin{matrix} \sin (t) \\ \cos (t) \end{matrix}) .$

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Caso 3: autovalores reales repetidos (deficiente)

Autovalor: $λ$ (doble) con un solo autovector linealmente independiente $v$ .
Autovector Generalizado: Resolver $(A - λ I) w = v$ para encontrar $w$ .
Solución General: $X (t) = C_{1} e^{λ t} v + C_{2} e^{λ t} (t v + w)$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 1 & 7 \end{matrix})$ , con $λ = 5$ (doble) y autovector $v = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$ , se busca $w$ tal que $(A - 5 I) w = v$ . La solución es: $X (t) = C_{1} e^{5 t} (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + C_{2} e^{5 t} (t (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 1 \end{matrix})) .$

Resumen

Caso	Condición	Método de Solución
Diagonalizable	$λ_{1} \neq λ_{2}$	Autovalores y autovectores.
Autovalor deficiente	$λ$ repetido, 1 autovector	Autovector generalizado.
Autovalores complejos	$λ = α \pm i β$	Partes real e imaginaria del autovector.

Caso no homogéneo: variación de constantes

Si tenemos un sistema lineal no homogéneo con coeficientes constantes:

X^{'} (t) = A X (t) + F (t),

donde $F (t)$ es un vector función conocido, la solución general se escribe como:

X (t) = X_{h} (t) + X_{p} (t),

donde:

$X_{h} (t)$ es la solución general del sistema homogéneo $X^{'} = A X$ ,
$X_{p} (t)$ es una solución particular del sistema completo.

Definimos la matriz fundamental $Φ (t)$ como una matriz cuyas columnas son $n = 2$ soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo. Esta matriz debe ser no singular, es decir, su determinante es $det (Φ (t)) \neq 0$ .
Usaremos el método de variación de constantes:

Teorema. Sea $Φ (x)$ una matriz fundamental del sistema lineal homogéneo

X^{'} = A X,

entonces una solución particular del sistema no homogéneo

X^{'} = A X + F (t),

está dada por

X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ^{- 1} (t) F (t) d t .

$◼$

Ejemplo
Sea el sistema:

X^{'} (t) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) X (t) + (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) .

1. Sistema homogéneo:

X^{'} (t) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) X (t)

Matriz $A$ :

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})

Autovalores:
La matriz es triangular superior, así que los autovalores son directamente los elementos de la diagonal:

λ_{1} = 2, λ_{2} = 3

Vectores propios:

Para $λ_{1} = 2$ :

(A - 2 I) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow y = 0 \Rightarrow v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Para $λ_{2} = 3$ :

(A - 3 I) = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow x = y \Rightarrow v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución general del sistema homogéneo:

X_{h} (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) e^{2 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{3 t}

2. Solución particular (Variación de constantes)
La matriz fundamental construida con las soluciones del sistema homogéneo es:

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{2 t} & e^{3 t} \\ 0 & e^{3 t} \end{matrix})

Inversa de $Φ (t)$ :

Φ^{- 1} (t) = (\begin{matrix} e^{- 2 t} & - e^{- 2 t} \\ 0 & e^{- 3 t} \end{matrix})

Multiplicamos $Φ^{- 1} (t)$ por el término no homogéneo:

Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{- 2 t} & - e^{- 2 t} \\ 0 & e^{- 3 t} \end{matrix}) (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{- 2 t} (t - 1) \\ e^{- 3 t} \end{matrix})

Integramos componente a componente:

Para la primera componente:

\int e^{- 2 t} (t - 1) d t = (- \frac{1}{2} t + \frac{1}{4}) e^{- 2 t} + C

Para la segunda:

\int e^{- 3 t} d t = - \frac{1}{3} e^{- 3 t} + C

Multiplicamos por $Φ (t)$ para obtener la solución particular:

X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) d t = (\begin{matrix} e^{2 t} & e^{3 t} \\ 0 & e^{3 t} \end{matrix}) (\begin{matrix} (- \frac{1}{2} t + \frac{1}{4}) e^{- 2 t} \\ - \frac{1}{3} e^{- 3 t} \end{matrix})

Solución particular:

X_{p} (t) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{12} \\ - \frac{1}{3} \end{matrix})

Solución general del sistema:

X (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) e^{2 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{3 t} + (\begin{matrix} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{12} \\ - \frac{1}{3} \end{matrix}), c_{1}, c_{2} \in R

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