Tema 6: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Conceptos Básicos

Una ecuación diferencial de orden superior es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de orden mayor o igual a dos:

F (x, y, y^{'}, y^{″}, . . ., y^{(n)}) = 0

El PVI y el Teorema de Existencia y Unicidad
Un problema de valores iniciales (PVI) de orden superior para EDOs lineales es una ecuación diferencial lineal junto con los valores de la incógnita y sus $n - 1$ primeras derivadas en un punto, según el siguiente esquema:

{\begin{cases} y^{(n)} = F (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) \\ y (x_{0}) = y_{0} \\ y^{'} (x_{0}) = y_{1} \\ ⋮ \\ y^{(n - 1)} (x_{0}) = y_{n - 1} \end{cases}

El teorema de existencia y unicidad establece que si exigimos ciertas condiciones de continuidad para $F$ entonces existe una única solución que satisface estas condiciones iniciales.

Ejemplo. Problema estándar de física: segunda ley de Newton para construir una ecuación diferencial, y condiciones iniciales.

{\begin{cases} m x^{″} = - m g + k x + \dots + F (x) \\ x (0) = 3 \\ x^{'} (0) = 1 \end{cases}

a) Gravedad constante
b) Ley de Gravitación universal

Se dice que una ecuación es lineal, si tiene la forma:

a_{n} (x) y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = g (x),

donde los coeficientes $a_{i} (x)$ pueden ser funciones de $x$ , y $g (x)$ es el término no homogéneo.

Si $g (x) = 0$ , la ecuación es homogénea. Si las funciones $a_{n} (x), a_{n - 1} (x), . . ., a_{0} (x)$ son todas constantes, se dice que la EDO es de coeficientes constantes. En caso contrario, se dice que la EDO es de coeficientes variables.

Ejemplos:

$4 y^{″} + 7 x y^{'} - \sqrt{x} y = x^{4}$
$4 y^{‴} + 3 y^{″} - y^{'} + 7 y = 0$
$7 x^{3} y^{‴} + 8 x^{2} y^{″} - e^{x} x y^{'} + \frac{y}{x} = 0$
$9 y^{″} + y + \ln (x) = 0$

En lo que sigue, vamos a centrarnos en ecuaciones lineales con coeficientes constantes

a_{n} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = g (x),

Wronskiano y el EDOs lineales homogéneas

Definición: Se dice que un conjunto de funciones $f_{1} (x), f_{2} (x), . . ., f_{n} (x)$ es linealmente dependiente en un intervalo I si existen unas constantes $c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}$ no todas nulas tales que

c_{1} f_{1} (x) + c_{2} f_{2} (x) + . . . + c_{n} f_{n} (x) = 0.

En caso contrario decimos que el conjunto $f_{1} (x), f_{2} (x), . . ., f_{n} (x)$ es linealmente independiente. Caso particular de functional dependence.

Ejemplo. Decidir si el conjunto formado por las funciones $f_{1} (x) = x + 2$ y $f_{2} (x) = x - 2$ , es linealmente independiente. $◼$

Ejemplo. Comprobar si el conjunto formado por las funciones $f_{1} (x) = x (1 - x)$ , $f_{2} (x) = x^{2} (1 - x)$ y $f_{3} (x) = x (1 - x)^{2}$ , es linealmente independiente. $◼$

El Wroskiano de un conjunto de funciones $y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}$ se define como el determinante:

W (y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}) = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & \dots & y_{n}^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ y_{1}^{(n - 1)} & y_{2}^{(n - 1)} & \dots & y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix} |

Teorema. Si $W \neq 0$ , las funciones son linealmente independientes. $◼$

Definición. Se denomina sistema fundamental de soluciones (SFS) de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$ a cualquier conjunto de $n$ soluciones linealmente independientes.

Ejemplo. Demostrar que $y_{1} (x) = e^{x}$ y $y_{2} (x) = e^{9 x}$ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación $y^{″} - 10 y^{'} + 9 y = 0$ .

Teorema (Principio de superposición lineal). Sea ${y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}}$ un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Entonces la solución general es

y (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x),

donde $C_{1}, C_{2}, . . ., C_{n}$ son constantes arbitrarias.

Ejemplo. La solución general de $y^{″} - 10 y^{'} + 9 y = 0$ es $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{9 x}$ .

Teorema. Sea $y_{p}$ una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea, y ${y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}}$ un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada. Entonces la solución general de la ecuación no homogénea es

y (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x) + y_{p} (x),

donde $C_{1}, C_{2}, . . ., C_{n}$ son constantes arbitrarias e $y_{p} (x)$ es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Ejemplo. Buscar una solución del problema de valores iniciales

{\begin{cases} y^{″} - 10 y^{'} + 9 y = 9 \\ y (0) = 1 \\ y^{'} (0) = 1 \end{cases}

sabiendo que $y_{p} (x) = 1$ es una solución particular de la EDO.

Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

Vamos a empezar por el caso más sencillo, $y^{″} + b y^{'} + c y = 0$ . Suponemos que la solución tiene la forma $y = e^{λ x}$ , donde $λ$ es un número complejo a determinar. Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:

λ^{2} e^{λ x} + b λ e^{λ x} + c e^{λ x} = 0

Dividiendo por $e^{λ x}$ (que no es cero), obtenemos la llamada ecuación característica:

λ^{2} + b λ + c = 0

Denotamos sus raíces como $λ_{1}$ y $λ_{2}$ , y se tienen los siguientes casos:

Caso 1: $λ_{1}$ y $λ_{2}$ son reales y diferentes. En este caso el SFS es

y_{1} (x) = e^{λ_{1} x}, y_{2} (x) = e^{λ_{2} x}

y la solución general de la ecuación $y (x) = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}, C_{1}, C_{2} \in R$ .

Caso 2: $λ_{1} = λ_{2}$ es real. En este caso el SFS es

y_{1} = e^{λ_{1} x}, y_{2} (x) = x e^{λ_{1} x},

y la solución general de la ecuación $y (x) = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} x e^{λ_{1} x}, C_{1}, C_{2} \in R$ .

Caso 3: $λ_{1}$ y $λ_{2}$ son complejas conjugadas. Podemos escribirlas como

λ_{1} = α + i β, λ_{2} = α - i β .

En este caso el SFS es

y_{1} (x) = e^{α x} \cos (β x), y_{2} (x) = e^{α x} sen (β x) .

Y la solución general de la ecuación viene dada como

y (x) = C_{1} e^{α x} \cos (β x) + C_{2} e^{α x} sen (β x), C_{1}, C_{2} \in R .

Raíces del polinomio	Solución general
Dos raíces reales distintas $r_{1} \neq r_{2}$	$y (x) = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
Una raíz real doble $r_{1} = r_{2} = r$	$y (x) = C_{1} e^{r x} + C_{2} t e^{r x}$
Raíces complejas $r = α \pm i β$	$y (x) = e^{α x} [C_{1} \cos (β x) + C_{2} \sin (β x)]$

Ejemplos: resuelve las siguientes EDOs lineales homogéneas
a) $$x''+5x'+6x=0$$
b) $$x''+4x'+4x=0$$
c) $$x''+2x'+5x=0$$

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $y^{″} + 2 y^{'} - 3 y = 0$ .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $y^{″} - 2 y^{'} + 2 y = 0$ .

La técnica arriba explicada para ecuaciones de segundo orden, puede extenderse fácilmente a orden superior. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo: Buscar la solución general de la ecuación de tercer orden
$y^{‴} + y^{″} + y^{'} - 3 y = 0$ .

Ejemplo: Buscar la solución general de la ecuación de tercer orden
$y^{‴} - 3 y^{″} + 3 y^{'} - y = 0$ .

Ejemplo: Buscar la solución general de la ecuación de cuarto orden
$y^{(i v)} - 2 y^{″} + y = 0$ .

Ecuaciones Lineales No Homogéneas con Coeficientes Constantes

Consideramos la ecuación

y^{″} + b y^{'} + c y = f (x) .

De acuerdo con lo que vimos en la sección anterior tenemos que si conocemos un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada, basta con determinar una solución particular de la no homogénea para conocer su solución general.

Introducimos, a continuación, dos métodos para determinar soluciones particulares de la ecuación anterior.

Método de Variación de Constantes

Este método es más general y se puede aplicar a cualquier ecuación lineal no homogénea, siempre que se conozca un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.
Pasos:

Propón una solución particular de la forma $y_{p} (x) = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)$ , donde $u_{1} (x)$ y $u_{2} (x)$ son funciones desconocidas.
Impón la condición auxiliar

u_{1}^{'} (x) y_{1} (x) + u_{2}^{'} (x) y_{2} (x) = 0

para simplificar el cálculo de las derivadas.
3. Sustituye $y_{p} (x)$ , $y_{p}^{'} (x)$ y $y_{p}^{″} (x)$ en la ecuación original. Se obtiene un sistema sencillo que permite resolver para $u_{1}^{'} (x)$ y $u_{2}^{'} (x)$ .
4. Integra $u_{1}^{'} (x)$ y $u_{2}^{'} (x)$ para encontrar $u_{1} (x)$ y $u_{2} (x)$ . Finalmente, sustitúyelos en

y_{p} (x) = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)

para obtener la solución particular.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

y^{″} - 5 y^{'} + 4 y = e^{x} + 1.

Ejemplo: Resolver el problema de valores iniciales:

{\begin{cases} y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = x \\ y (0) = 1 \\ y^{'} (0) = - 1 \end{cases}

Método de los Coeficientes Indeterminados

Este método es más sencillo, pero solo se puede aplicar a ecuaciones no homogéneas donde $f (x)$ tiene una forma específica (polinomios, exponenciales, senos, cosenos o combinaciones de estos).
Pasos:

Basándote en la forma de $f (x)$ , propón una solución particular $y_{p} (x)$ con coeficientes indeterminados.

$f (x)$	Forma de $y_{p} (x)$ propuesta
$a$	$A$
$a x + b$	$A x + B$
$a x^{2} + b x + c$	$A x^{2} + B x + C$
$e^{a x}$	$A e^{a x}$
$e^{a x} (b x + c)$	$e^{a x} (A x + B)$
$\sin (b x)$ o $\cos (b x)$	$A \cos (b x) + B \sin (b x)$
$x^{m} e^{a x}$	$e^{a x} (A_{m} x^{m} + . . . + A_{0})$
$x^{n} \sin (b x)$ o $x^{n} \cos (b x)$	$x^{n} (A \cos (b x) + B \sin (b x))$
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OJO: Si la forma propuesta para $y_{p} (x)$ resulta ser una solución de la ecuación homogénea, entonces debemos multiplicarla por $x$ (o por una potencia mayor de $x$ ) hasta obtener una función que no sea solución de la homogénea.

Calcula $y_{p}^{'} (x)$ e $y_{p}^{″} (x)$ . Sustituye $y_{p} (x)$ , $y_{p}^{'} (x)$ e $y_{p}^{″} (x)$ en la ecuación original.
Iguala los coeficientes de términos similares en ambos lados de la ecuación. Resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los coeficientes indeterminados.
Sustituye los coeficientes encontrados en $y_{p} (x)$ .

Generalización: Laplace transform.

Aplicaciones: Modelos de Movimientos Vibratorios

Movimiento Armónico Simple

Un sistema masa-resorte sin fricción satisface la ecuación:

m y^{″} + k y = 0

cuya solución es:

y (t) = A \cos (ω t) + B \sin (ω t)

donde $ω = \sqrt{k / m}$ .

Caso especial: peso colgando de un muelle. En tal caso tendríamos dos fuerzas, la del muelle y la de la gravedad:

m x^{″} = - k x + m g .

Pero en realidad se trata del mismo caso, lo único que cambia es que tenemos un nuevo punto de equilibrio, separado una distancia $l$ del anterior. En ese punto se cumple que

Peso = Fuerza restauradora

es decir, $m g = k l$ . Luego podemos cambiar la variable $x$ , distancia al antiguo punto de equilibro, por la nueva variable $y$ , distancia al nuevo punto de equilibro. Se cumple que $y (t) = x (t) - l$ . Así pues

m x^{″} = - k x + m g .

m y^{″} = - k (y + l) + m g = - k y .

Movimiento Amortiguado

Incluye un término de fricción:

m y^{″} + b y^{'} + k y = 0

Las soluciones dependen del discriminante $Δ = b^{2} - 4 m k$ .

Ejemplo: Un cuerpo de 3kg se suspende, sin velocidad inicial, de un muelle con constante $k = 2$ , a $25 c m$ por debajo del punto de equilibro. El coeficiente de rozamiento es $β = 1$ . Calcula la ecuación de movimiento, resuélvela y dibújala. ¿A qué distancia del punto de equilibro se encontrará a los 4 segundos?

Movimiento Forzado

Si hay una fuerza externa $F (t)$ :

m y^{″} + b y^{'} + k y = F (t)

Las soluciones incluyen la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.

Ejemplo: Imagina un niño en un columpio, con una masa de $25 k g$ , y cuya proyección sobre el eje $x$ sigue un movimiento armónico de constante $k = 150$ . El punto de equilibrio está en $x = 0$ . Considera que el rozamiento con el aire y de las bisagras del columpio dan lugar a un coeficiente $β = 10$ . Ahora imagina que introducimos una fuerza $\cos (\sqrt{(} 149) t / 5)$ . Representa el movimiento del niño durante 50 segundos, si parte del reposo con un desplazamiento inicial de $0.8 m$ .