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Tema 5. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

• Introducción
• Definiciones
• Resolución de EDOs de Primer Orden
• Diagrama de flujo
• Aplicaciones

Introducción

En ciencia suele ocurrir que las magnitudes que nos interesan no son directamente "accesibles", pero sí somos capaces de encontrar relaciones entre ellas y sus derivadas. Ejemplo base: una población de cualquier ser vivo crece, al principio, de manera proporcional al tamaño de la población: cuantos más individuos hay, mayor descendencia tienen. Esto nos lleva a plantear la ecuación:

Veremos cómo resolverla.
Otro ejemplo: la temperatura a la que se enfría un cuerpo depende de la diferencia de temperatura con el medio:

Definiciones

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona una función incógnita con algunas de sus derivadas.

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): cuando la función incógnita depende de una sola variable.
• Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP): cuando la función incógnita depende de varias variables.

El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de las derivadas que aparecen en la ecuación.
Ejemplos:

• Primer orden: $y^{\prime }=\sin y$
• Orden superior: $y^{″}+y^{\prime }-y=0$

Forma diferencial. Una EDO de primer orden se puede poner en forma diferencial sustituyendo $y^{\prime }$ por $\frac{dy}{dx}$ y "pasando multiplicando":

Una solución de una ecuación diferencial es una función $f(x)$ definida en un intervalo $I$ tal que al sustituirla en la ecuación se verifica la igualdad. Distinguimos entre soluciones explícitas e implícitas:

• Explícita: $y=f(x)$
  Ejemplo: $y^{\prime }=2x⟹y=x^2$. Comprobamos derivando y sustituyendo

• Implícita: $F(x,y)=0$
  Ejemplo: $y^{\prime }=-x/y⟹y^2+x^2=1$. Para comprobarlo, derivamos (usando la regla de la cadena) y obtenemos:

  $$$$$$$$$$$$$$$$

  Si nos hubiesen dado la EDO en forma diferencial $ydy+xdx=0$ podríamos obtener una forma diferencial a partir de la solución implícita:

  $$$$$$$$

Llamamos solución general a una familia de funciones dependientes de un parámetro arbitrario $C$. Solución singular: no se obtiene de la general.

Ejemplos:

• $y^{\prime }=2x⟹y=x^2+C$
• $y^{\prime }=-y/x⟹y^2+x^2=C$

Problema de Valores Iniciales

El problema de valores iniciales (PVI) o problema de Cauchy se define como:

Solución particular: valor concreto de $C$ en la solución general.

Teorema de Existencia y Unicidad.
Si $F(x,y)$ es continua y su derivada parcial $\frac{\partial F}{\partial y}$ es continua en una región $R$ tal que $(x_0,y_0)\in R$, entonces existe una única solución en un intervalo $I$ que satisface la ecuación diferencial y la condición inicial.

Interpretación geométrica

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

se puede interpretar como un campo de direcciones en ${\mathbb{R}}^2$. En cada punto $(x,y)$, la ecuación define la pendiente de una recta tangente. Al dibujar estas direcciones en varios puntos, obtenemos un campo de direcciones, que nos da una idea visual del comportamiento de las soluciones.

Las soluciones de la ecuación son curvas cuya derivada en cada punto coincide con la dirección del campo. Es decir, son trayectorias tangentes a los vectores del campo de direcciones (curvas negras de la siguiente imagen). Cuando se impone una condición inicial $y(x_0)=y_0$, es decir, un PVI, se selecciona una única curva de solución que pasa por $(x_0,y_0)$ (la curva roja).

Resolución de EDOs de Primer Orden

Ecuaciones de Variables Separables

Si la ecuación se puede escribir como:

Se separan las variables y se integran ambos lados:

Ejemplo: Resolver $y^{\prime }=x(y-2)$.

Ejemplo: Resolver el problema de valor inicial

Ecuaciones Homogéneas

Una ecuación es homogénea si:

Mediante el cambio de variable $y(x)=xz(x)$, la ecuación queda transformada en una de variables separables.

Ejemplo: Resolver $y^{\prime }=\frac{y-x}{y+x}$.
En primer lugar, comprobamos que es homogénea:

Por lo que es homogénea. Por tanto, hacemos el cambio de variable:

sustituimos en la ecuación:

integramos ambos lados:

Deshacer el cambio

Ecuaciones Lineales

Tienen la forma:

• Si homogénea, i.e., $Q(x)=0$, entonces es de variables separables.

Ejemplo: $y^{\prime }+\cos (x)y=0$.

• Si no homogénea, derivada de un producto:
  Ejemplo motivador: Resolver $y^{\prime }+2xy=x$.
  Nos damos cuenta de que si multiplicamos ambos miembros por $\mu$

en la parte izquierda tenemos "casi" la derivada de un producto. Para que sea $\mu y^{\prime }+2x\mu y=(\mu y{)}^{\prime }$ debe ser:

y entonces:

Integrando:

Sustituyendo

Integrando ambos lados:

Y finalmente

En la práctica usaremos la fórmula:

o más troceada:

Ejemplo
Consideremos el PVI:

Identificamos:

• $P(x)=2$
• $Q(x)=e^x$

La solución general viene dada por:

1. Calculamos

   $$e^{\int P(x)dx}=e^{\int 2dx}=e^{2x}$$

2. Cálculo de la integral

   $$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int e^x{e}^{2x}dx=\int e^{3x}dx$$

   Resolviendo la integral:

   $$\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}$$

3. Expresión de la solución general

   $$y(x)=e^{-2x}(\frac{e^{3x}}{3}+C)$$$$y(x)=\frac{e^x}{3}+C{e}^{-2x}$$

4. Aplicación de la condición inicial $y(0)=1$

   $$1=\frac{e^0}{3}+C{e}^0$$$$1=\frac{1}{3}+C$$$$C=\frac{2}{3}$$

5. Solución particular

   $$y(x)=\frac{e^x}{3}+\frac{2}{3}{e}^{-2x}$$

Ecuaciones Exactas

La escribimos en forma diferencial:

Decimos que es exacta si

Para resolverla, buscamos una solución implícita general $F(x,y)=C$, que debe cumplir

Comparando con

podemos probar con una $F$ que cumpla

Así pues tendríamos que $F=\int Mdx+K(y)$. Observa que la constante de integración $K$ puede depender de $y$, pues estamos integrando respecto de $x$. Por otra parte, como debería ser $\frac{\partial F}{\partial y}=N$ se tiene que

y de aquí podemos obtener $K$, integrando en:

pues gracias a $(1)$ tenemos asegurado que $N-\int \frac{\partial M}{\partial y}dx$ no depende de $x$.

Ejemplo
Consideremos la ecuación diferencial:

Calculamos las derivadas parciales:

Sabemos que una solución $F(x,y)$ debe satisfacer:

Integramos respecto a $x$:

donde $K(y)$ es una función de $y$ que debemos determinar.
Ahora usamos:

De aquí, $K^{\prime }(y)=4y$, y al integrar:

Por lo tanto, la solución implícita es:

¿Y si no es exacta? Factor Integrante

Si la ecuación no es exacta, se busca una función $\mu (x,y)$ tal que multiplicando la ecuación se convierta en exacta.
Se dice que una función $\mu (x,y)$ es un factor integrante de una EDO de primer orden si al multiplicar $\mu$ por ambos miembros de la EDO, ésta se convierte en exacta. En condiciones típicas, tenemos la garantía de que el factor integrante siempre existe, pero en la práctica puede ser imposible encontrarlo.

Ejemplo:
Comprobar que $\mu (x,y)=y^3$ es un factor integrante de la ecuación:

Para comprobar que $\mu (x,y)=y^3$ es factor integrante, multiplicamos la ecuación y verificamos si es exacta:

1. Multiplicar:

2. Derivadas parciales cruzadas:
   • $M_y=\frac{\partial }{\partial y}(x{y}^4)=\mathbf{4}{\mathbf{xy}}^{\mathbf{3}}$
   • $N_x=\frac{\partial }{\partial x}(2x^2{y}^3+3y^5-20y^3)=\mathbf{4}{\mathbf{xy}}^{\mathbf{3}}$

Conclusión: Como $M_y=N_x$, se confirma que $\mu (x,y)=y^3$ es un factor integrante.

Para una EDO escrita en la forma:

buscaremos un factor integrante dependiente de $x$ o de $y$, "por si tenemos suerte". La búsqueda de un factor integrante dependiendo de ambas variables $x,y$ es, en general, un problema más difícil que la propia EDO (es una EDP)

Ejemplo 0:
Veamos cómo obtener el factor integrante para

• Suponemos $\mu =\mu (x)$
  $\mu (x)xdx+\mu (x)(x^2+3y-20)dy=0$

$\underset{M}{\underbrace{\mu (x)x}}dx+\underset{N}{\underbrace{\mu (x)(x^2+3y-20)}}dy=0$

$\frac{\partial M}{\partial y}=\mu (x)\cdot x$

$\frac{\partial N}{\partial x}={\mu }^{\prime }(x)(x^2+3y-20)+\mu (x)4x$

$\Rightarrow \frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }$ depende de $y$

• Suponemos $\mu =\mu (y)$
  $\mu (y)xdx+\mu (y)(x^2+3y-20)dy=0$

$\underset{M}{\underbrace{\mu (y)x}}dx+\underset{N}{\underbrace{\mu (y)(x^2+3y-20)}}dy=0$

$\frac{\partial M}{\partial y}=x({\mu }^{\prime }(y)+\mu (y))$

$\frac{\partial N}{\partial x}=4x\mu (y)$

$\Rightarrow x({\mu }^{\prime }(y)+\mu (y))=4x\mu (y)$

${\mu }^{\prime }y+\mu =4\mu$

${\mu }^{\prime }y=3\mu$

$\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }=\frac{3}{y}$ $ln(\mu )=3ln(y)$

$\mu =y^3$

Ejemplo 1:
Encontrar un factor integrante para la ecuación:

Ejemplo 2:
Comprobar si la EDO:

es exacta y, en caso de no serlo, encontrar un factor integrante.

Diagrama de flujo

Dada una ode $y^{\prime }=f(x,y)$, podemos seguir el siguiente diagrama de flujo:

graph TD;
    B{"¿Variables
separables?"}
    B -- "Sí" --> C("Método de 
variables separables") --> D("YOU WIN!")
    B -- "No" --> F{"¿Homogénea?"}
    F -- "Sí" --> G("Cambio y(x) = x z(x)") --> C
    F -- "No" --> I{"¿Lineal?"}
    I -- "Sí" --> J{"L. homogénea?"} 
    J-- "Sí" --> C
    J-- "No" --> A("Fórmula") --> D
    I -- "No" --> K{"Forma diferencial:
 Exacta?"}
    K -- "Sí" --> L("Método de exactas") --> D
    K -- "No" --> M{"¿Factor 
integrante?"}
    M -- "Sí" --> L
    M -- "No" --> O("GAME OVER")

Aplicaciones

Ley de Enfriamiento de Newton

La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del medio ambiente. Si $T(t)$ es la temperatura del objeto en el tiempo $t$ y $T_a$ es la temperatura del medio ambiente, entonces la ecuación diferencial que describe el enfriamiento es:

donde $k>0$ es una constante que depende de las propiedades térmicas del objeto y del medio en el que se encuentra.

Para determinar completamente el modelo, se usa una medición de la temperatura en un instante concreto, por ejemplo, en un tiempo $t_1$, lo que permite calcular la constante $k$.

Ejemplo descafeinado (nunca mejor dicho):
Un café se sirve a una temperatura de 90°C en una habitación a 25°C. Por experimentos previos, sabemos que la constante de enfriamiento es $k=0.9$. ¿Cuál será la temperatura del café después de 15 minutos?

Ejemplo real:
Un café se sirve a una temperatura de 90°C en una habitación a 25°C. Después de 5 minutos, la temperatura del café es de 70°C. ¿Cuál será la temperatura del café después de 15 minutos?
¿Cuánto tiempo debe pasar para que se encuentre a 25'5 grados?

Desintegración Radiactiva

Muchos elementos radiactivos se desintegran con una tasa de desintegración proporcional a la cantidad de sustancia presente en el medio. Si $X$ denota a la sustancia y $Q(t)$ a la cantidad presente en el instante $t$, entonces la tasa de cambio de $Q(t)$ con respecto a $t$ está dada por:

donde $r>0$ depende del elemento $X$.
La solución es

Para determinar $C$ y $r$ se usa una medición de la cantidad de materia en un instante concreto: en el instante $t_0$ hay $Q_0$ cantidad de materia, y también con un valor experimental conocido como la semivida del elemento $X$, que es el tiempo necesario para que la cantidad de sustancia se reduzca a la mitad y se denota por $T_X$. Así pues para determinar completamente el modelo, se usa que

y

Ejemplo 1: Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada encontrados en unas cuevas para fechar las pinturas prehistóricas de las paredes. Determinar la edad de la madera si se encontró que había desaparecido el 85.5% de C-14, sabiendo que la vida media del C-14 es de 5730 años.

Ejemplo 2: Un reactor convierte el uranio-238, relativamente estable, en plutonio-239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial de una muestra de plutonio. Calcular la semivida del isótopo.

Cinética de reacciones químicas

Ejemplo
3 g de A junto con 5 g de B dan lugar a 2 g de C y 6 g de D. Inicialmente tenemos 80g de A y 120 g de B. Si la formación de C es proporcional a la cantidad de reactivos que queda, calcula el modelo de cantidad de C en función del tiempo, sabiendo que al minuto de comenzar la reacción se ha producido 5 g de C.
Para resolver este problema, debemos seguir la estequiometría de la reacción y aplicar la ley de acción de masas según las condiciones dadas.

1. Análisis de la Estequiometría
   La reacción nos dice que por cada 2 g de C producidos, se consumen cantidades específicas de A y B. Definimos $c(t)$ como la cantidad de C en el tiempo $t$.

• Relación de consumo de A: Para obtener 2 g de C se usan 3 g de A. Por tanto, se consumen $\frac{3}{2}$ g de A por cada gramo de C.
• Relación de consumo de B: Para obtener 2 g de C se usan 5 g de B. Por tanto, se consumen $\frac{5}{2}$ g de B por cada gramo de C.

Las cantidades de reactivos en cualquier instante $t$ son:

• $a(t)=80-\frac{3}{2}c$
• $b(t)=120-\frac{5}{2}c$

2. Planteamiento de la EDO

El enunciado indica que la formación de C es proporcional a la cantidad de reactivos que queda:

Sustituimos $a$ y $b$:

Para trabajar con un polinomio mónico en el denominador (coeficiente de $c^2$ igual a 1), extraemos los factores comunes de los coeficientes de $c$:

Agrupamos la constante $K=\frac{15}{4}k$ y separamos variables:

3. Resolución de la Integral
   Usamos fracciones parciales para el lado izquierdo:

Resolviendo para $A$ y $B$:

• Si $c=48⟹1=B(48-\frac{160}{3})=B(-\frac{16}{3})⟹B=-\frac{3}{16}$
• Si $c=\frac{160}{3}⟹1=A(\frac{160}{3}-48)=A(\frac{16}{3})⟹A=\frac{3}{16}$
  La integral queda:

4. Determinación de Constantes y Modelo Final

Condición inicial: En $t=0$, $c=0$.

Sustituyendo $C_1$ y aplicando la exponencial (llamamos $K^{\prime }=\frac{16}{3}K$):

Cálculo de $K^{\prime }$: Sabemos que en $t=1$, $c=5$.

Expresión explícita: despejando $c(t)$:

Multiplicamos cruzado y despejamos $c$:

Mezclas de sustancia

Cuando se mezclan dos disoluciones con diferentes concentraciones de una misma sustancia, la concentración varía con el tiempo según un balance de flujo de entrada y salida. En un sistema de mezcla continua, la tasa de cambio de la cantidad de sustancia disuelta está dada por la ecuación:

Si se considera un tanque con un volumen constante $V$ de líquido, en el que entra una solución con concentración $c_{in}$ a una tasa de flujo $r_{in}$ y sale a una tasa $r_{out}$ con concentración $c(t)=\frac{Q(t)}{V}$, la ecuación diferencial que modela la cantidad de sustancia en el tanque es:

Ejemplo:
Un tanque contiene inicialmente 300 litros de agua pura. Se bombea una solución salina a una tasa de 3 litros por minuto con una concentración de 2 g/L, y la mezcla se mantiene bien agitada mientras se extrae líquido 2 l/min. ¿Cuál será la cantidad de sal en el tanque después de 10 minutos?

Para resolver este problema, utilizaremos una ecuación diferencial lineal de primer orden que modele el cambio de la cantidad de sal en el tanque respecto al tiempo ($t$).

1. Definición de variables

• $A(t)$: Cantidad de sal en el tanque en el tiempo $t$ (en gramos).
• $V(t)$: Volumen de líquido en el tanque en el tiempo $t$.
• $t$: Tiempo transcurrido (en minutos).

2. Planteamiento de la Ecuación
   La tasa de cambio de la sal es la diferencia entre la tasa de entrada y la tasa de salida:

Razón de entrada:

Razón de salida:
Primero, definimos el volumen $V(t)$. Como entran 3 L/min y salen 2 L/min, el volumen aumenta 1 litro cada minuto:

La concentración de salida es la cantidad actual de sal dividida por el volumen actual: $\frac{A(t)}{300+t}$.

Ecuación Diferencial:

3. Resolución de la Ecuación
   Reescribimos la ecuación en su forma estándar:

Utilizamos la fórmula de teoría para las lineales:

4. Condición Inicial y Resultado
   Sabemos que inicialmente el tanque tenía agua pura, por lo tanto, en $t=0$, $A=0$:

La función de la cantidad de sal es:

Cálculo para $t=10$ minutos:

1. $300+10=310$
2. $A(10)=2(310)-\frac{54,000,000}{{310}^2}$
3. $A(10)=620-\frac{54,000,000}{96,100}$
4. $A(10)\approx 620-561.91$

$A(10)\approx 58.09$ gramos

Después de 10 minutos, habrá aproximadamente 58.09 gramos de sal en el tanque.

Mezcla térmica

Considera un termo eléctrico de 100L, que se encuentra inicialmente a 60ºC. Cuando el usuario abre el grifo, entra agua a 15ºC, a razón de 3L/min; y sale ese mismo caudal de agua, a la nueva temperatura del depósito una vez mezclado todo (se supone que la mezcla es instantánea). ¿Cómo podríamos describir la temperatura del agua que le llega al usuario?

Considera un intervalo de tiempo $t\mapsto t+dt$, la temperatura del tanque, y por tanto de salida, cambia $T_1\mapsto T_2$, siendo $dT=T_2-T_1$, porque habrá entrado una cantidad de agua a 15ºC $da$ que se habrá mezclado con los $100-da$ litros restantes.
La energía que pierde o gana una sustancia al cambiar su temperatura es

Así pues, el agua del tanque sufre una pérdida de energía

y el poquito de agua que entra ($da$) sufre un aumento de energía dado por:

Por conservación de la energía tenemos:

Luego:
$(100-da)(T_2-T_1)+da(T_2-15)=0$

$100T_2-(100-da)T_1-15da=0$

$100(T_2-T_1)+da(T_1-15)=0$

$dT=\frac{15-T_1}{100}da$
Y dividiendo entre el tiempo transcurrido

OJO: Se puede ver como un caso de mezcla de sustancias. Considera que el calor es una sustancia que hay en el agua y que la temperatura refleja la concentración de esa sustancia. La energía térmica es la cantidad de esa sustancia, por eso $E=V\cdot c\cdot T$, donde la constante $c$ solamente nos da el cambio de unidades.

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