Tema 4: Cálculo diferencial en varias variables

0. Introducción

Varias variables en varias variables:

f : R^{n} \to R^{m}

(x, y, z, \dots) \mapsto (f_{1}, f_{2}, \dots)

Ejemplos:

Para cada punto de un mapa $(x, y)$ podemos dar su temperatura $T$ :

(x, y) \mapsto T (x, y)

Para cada punto de un mapa $(x, y)$ podemos dar la velocidad del viento $v_{1}, v_{2}$ :

(x, y) \mapsto (v_{1} (x, y), v_{2} (x, y))

Para cada valor de tiempo $t$ podemos dar un punto de un mapa $(x, y)$ :

t \mapsto (x (t), y (t))

1. Dominio de Funciones

El dominio de una función $f$ de varias variables, $D o m (f)$ , es el conjunto de puntos $(x, y, \dots)$ del espacio $R^{n}$ para los cuales la función está definida.

Para hallar el dominio, debemos identificar las operaciones que tienen restricciones:

Denominadores: El denominador no puede ser cero.
- Si $f (x, y) = \frac{g (x, y)}{h (x, y)}$ , se debe cumplir $h (x, y) \neq 0$ .
Raíces Cuadradas (y de índice par): El argumento de la raíz (radicando) no puede ser negativo.
- Si $f (x, y) = \sqrt{g (x, y)}$ , se debe cumplir $g (x, y) \geq 0$ .
Logaritmos: El argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.
- Si $f (x, y) = \log (g (x, y))$ , se debe cumplir $g (x, y) > 0$ .
Funciones Trigonométricas Inversas: (Como $a r c s i n, a r c c o s$ ) sus argumentos están restringidos a $[- 1, 1]$ .

Nota: Funciones como polinomios, $e^{g (x, y)}$ , $\sin (g (x, y))$ y $\cos (g (x, y))$ están definidas siempre que su argumento $g (x, y)$ lo esté.

2. Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

En varias variables existen la correspondientes nociones de límite y de continuidad. Dado su dificultad técnica no serán tratadas aquí, sino que nos ocuparemos directamente de la generalización del concepto de derivada.

Derivadas Parciales

La derivada parcial de $f (x, y)$ con respecto a $x$ en un punto $(a, b)$ se calcula tratando $y$ como una constante y derivando con respecto a $x$ . Se denota $\frac{\partial f}{\partial x} (a, b)$ o $f_{x} (a, b)$ .

Cálculo práctico:
- Para hallar $\frac{\partial f}{\partial x}$ , deriva $f$ con respecto a $x$ tratando $y$ como una constante.
- Para hallar $\frac{\partial f}{\partial y}$ , deriva $f$ con respecto a $y$ tratando $x$ como una constante.

Diferenciabilidad

Una función $f$ es diferenciable en un punto $P_{0} = (a, b)$ si sus derivadas parciales existen en $P_{0}$ y hay una buena aproximación de orden 1 de la función cerca de $P_{0}$

P_{f} : (x, y) \mapsto f (a, b) + (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})

Ejemplo:
Sea la función $f (x, y) = x^{2} + y^{3} - 5$ en el punto $P_{0} = (1, 3)$ .

Calculamos el valor de la función en el punto:
$f (1, 3) = (1)^{2} + (3)^{3} - 5 = 1 + 27 - 5 = 23$
Calculamos las derivadas parciales:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x$ (tratando $y^{3} - 5$ como una constante)
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2}$ (tratando $x^{2} - 5$ como una constante)

Evaluamos las derivadas parciales en el punto $(1, 3)$ :

$\frac{\partial f}{\partial x} (1, 3) = 2 (1) = 2$
$\frac{\partial f}{\partial y} (1, 3) = 3 (3)^{2} = 3 \cdot 9 = 27$

Construimos la aproximación lineal $P_{f}$ (plano tangente):
Usando la fórmula $P_{f} (x, y) = f (a, b) + \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) (y - b)$ :

P_{f} : (x, y) \mapsto 23 + (\begin{matrix} 2 & 27 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x - 1 \\ y - 3 \end{matrix})

de donde

P_{f} (x, y) = 2 x + 27 y - 60

Condición Suficiente de Diferenciabilidad (Criterio práctico):
Si las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ existen y son continuas en un entorno (una región abierta) alrededor de un punto $(a, b)$ , entonces $f$ es diferenciable en $(a, b)$ .

Ejemplo: En el ejemplo anterior, dado que las derivadas parciales $f_{x} = 2 x$ y $f_{y} = 3 y^{2}$ son continuas en todo $R^{2}$ , la función $f$ es diferenciable en todos sus puntos, incluido el $(1, 3)$ .

Relaciones importantes:

Diferenciable $⟹$ Continua.
Diferenciable $⟹$ Existen todas las derivadas parciales.
El contrario no es cierto: que existan las derivadas parciales no implica diferenciabilidad

3. Derivadas Direccionales, Gradiente y Regla de la Cadena

Vector Gradiente

El vector gradiente de una función $f$ en un punto $P$ , denotado $\nabla f (P)$ , es el vector de sus derivadas parciales.

Para $f (x, y)$ : $\nabla f (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$
Para $f (x, y, z)$ : $\nabla f (x, y, z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

Derivada Direccional

La derivada direccional de $f$ en un punto $P$ en la dirección de un vector unitario $\vec{u}$ mide la tasa de cambio de $f$ en esa dirección.
Cálculo:

D_{\vec{u}} f (P) = \nabla f (P) \cdot \vec{u}

(Es el producto escalar del gradiente por el vector unitario).

¡Importante! El vector de dirección $\vec{u}$ debe ser unitario ( $∥ \vec{u} ∥ = 1$ ). Si te dan una dirección $\vec{v}$ que no es unitaria (como en el Problema 4.2), primero debes normalizarla:

\vec{u} = \frac{\vec{v}}{∥ \vec{v} ∥}

donde $∥ \vec{v} ∥ = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots}$

Propiedades del Gradiente

El gradiente $\nabla f (P)$ nos da información clave sobre el cambio de $f$ en el punto $P$ :

Máximo Crecimiento: La dirección de máximo crecimiento (o "máxima pendiente") de $f$ es la dirección del propio vector gradiente, $\nabla f (P)$ .
- La tasa de ese crecimiento (la derivada direccional máxima) es la norma del gradiente, $∥ \nabla f (P) ∥$ .
Máximo Decrecimiento: La dirección de máximo decrecimiento de $f$ es la opuesta al gradiente, $- \nabla f (P)$ .
- La tasa de ese decrecimiento es $- ∥ \nabla f (P) ∥$ .
Sin Cambio: La derivada direccional es cero en cualquier dirección perpendicular a $\nabla f (P)$ .

Regla de la Cadena

Se usa cuando las variables de una función dependen de otras.
Caso 1 (Problema 4.8): $z = f (u, v)$ donde $u = u (x, y)$ y $v = v (x, y)$ .

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} $ $ $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}

Caso 2 (Problema 4.9): $h (t) = f (x (t), y (t), z (t))$ .

h^{'} (t) = \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{d z}{d t}

4. Plano Tangente y Recta Normal

Se usan para aproximar superficies. Hay dos casos comunes:

Caso 1: Gráfica de una función $z = f (x, y)$ en $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$

Plano Tangente:

$z - z_{0} = \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$

Coincide con la gráfica de la aproximación a $f$ , $P_{f}$ , vista anteriormente.

Caso 2: Superficie implícita $F (x, y, z) = k$ en $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$
(Nota: El Caso 1 es un caso particular de éste si tomamos $F (x, y, z) = f (x, y) - z$ y $k = 0$ ).

Calcula el vector gradiente de $F$ en $P_{0}$ :
$\nabla F (P_{0}) = (\frac{\partial F}{\partial x} (P_{0}), \frac{\partial F}{\partial y} (P_{0}), \frac{\partial F}{\partial z} (P_{0}))$
Este vector es normal (perpendicular) a la superficie en $P_{0}$ .
Ecuación del Plano Tangente:
$\nabla F (P_{0}) \cdot (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}) = 0$
Es decir:
$\frac{\partial F}{\partial x} (P_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial F}{\partial y} (P_{0}) (y - y_{0}) + \frac{\partial F}{\partial z} (P_{0}) (z - z_{0}) = 0$
Ecuación de la Recta Normal (paramétrica):
$\vec{r} (t) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + t \cdot \nabla F (P_{0})$

5. Optimización de Funciones

Extremos Locales (Sin restricciones)

Para hallar los máximos, mínimos o puntos de silla de $f (x, y)$ en una región abierta.

Paso 1: Encontrar Puntos Críticos
Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos. Son los puntos $(a, b)$ donde:

\nabla f (a, b) = (0, 0)

(es decir, $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ), o

Paso 2: Clasificar Puntos Críticos (Criterio de la Segunda Derivada)
Calculamos el Hessiano, $D (x, y)$ , en cada punto crítico $(a, b)$ .

Calcula las segundas derivadas: $f_{x x}$ , $f_{y y}$ , $f_{x y}$ .
Calcula el determinante de la matriz Hessiana:

H (x, y) = (\begin{matrix} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{y x} & f_{y y} \end{matrix}),

es decir,

D (x, y) = f_{x x} (x, y) \cdot f_{y y} (x, y) - (f_{x y} (x, y))^{2}

En el punto crítico $(a, b)$ :
- Si $D (a, b) > 0$ y $f_{x x} (a, b) > 0$ $⟹$ Mínimo Local.
- Si $D (a, b) > 0$ y $f_{x x} (a, b) < 0$ $⟹$ Máximo Local.
- Si $D (a, b) < 0$ $⟹$ Punto de Silla.
- Si $D (a, b) = 0$ $⟹$ El criterio no decide.

Extremos Condicionados (Multiplicadores de Lagrange)

Para optimizar $f (x, y)$ sujeto a una restricción (ligadura) $g (x, y) = c$ . (También funciona para $f (x, y, z)$ con $g (x, y, z) = c$ ).

Pasos a seguir:

Definir la función Lagrangiana:

L (λ, x, y) = f (x, y) - λ (g (x, y) - c)

Construir la Matriz Hessiana Orlada ( $\bar{H}$ ):
Esta matriz incluye las segundas derivadas de $L$ y las primeras derivadas de la restricción $g$ .
Para 2 variables ( $f (x, y)$ con $g (x, y) = c$ ):
$\bar{H} = (\begin{matrix} 0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & L_{x x} & L_{x y} \\ g_{y} & L_{y x} & L_{y y} \end{matrix})$
Donde $g_{x} = \frac{\partial g}{\partial x}$ , $L_{x x} = \frac{\partial^{2} L}{\partial x^{2}} = f_{x x} - λ g_{x x}$ , $L_{x y} = f_{x y} - λ g_{x y}$ , etc.
Evaluar el Determinante: Se evalúa $det (\bar{H})$ en cada punto candidato $(x_{0}, y_{0}, λ_{0})$ que encontraste.
- Si $det (\bar{H}) > 0$ : El punto es un Máximo Local.
- Si $det (\bar{H}) < 0$ : El punto es un Mínimo Local.
- Si $det (\bar{H}) = 0$ : El criterio no concluye.

Extremos Absolutos en Conjuntos Compactos (Cerrados y Acotados)

Para hallar el máximo y mínimo absoluto de una función continua $f$ en una región cerrada y acotada $A$ (como un disco, Problema 5.7).

Método (Teorema de Weierstrass):

Interior: Encuentra todos los puntos críticos de $f$ que estén dentro de la región $A$ (usando el método de extremos locales $\nabla f = 0$ ).
Frontera: Encuentra los puntos extremos de $f$ sobre la frontera de $A$ . (Esto se hace usando Multiplicadores de Lagrange, donde la frontera es la restricción $g (x, y) = c$ ).
Comparar: Evalúa $f$ en todos los puntos obtenidos en los pasos 1 y 2.
- El valor más grande es el Máximo Absoluto.
- El valor más pequeño es el Mínimo Absoluto.

Ejercicios