Año 24-25 sept Mat II-GQUI

(Duración: 2h )

a) Se considera la función $f (x) = 5^{x}$ . Utilizar el método de interpolación de Newton para aproximar la función mediante un polinomio, usando los puntos $(- 1, f (- 1)), (0, f (0))$ y $(1, f (1))$ .
b) Matando moscas a cañonazos. Todo el mundo sabe que la ecuación $x^{2} = 2$ tiene dos soluciones, una de ellas $x = \sqrt{2}$ . Usa el método de Newton-Raphson para encontrar, de manera aproximada esa solución. Empieza con la aproximación $x_{0} = 5$ , y usa tres iteraciones.
(2.5 puntos)
Antes del mediodía, el cuerpo de una víctima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante de 21º. Al mediodía, la temperatura del cuerpo es de 26º y una hora más tarde es de 24º. Si se considera que la temperatura de un cuerpo en condiciones normales es de 37º. ¿Cuál fue la hora de la muerte?
(2.5 puntos)
Resolver, mediante el método de los coeficientes indeterminados, el PVI

{\begin{cases} y^{″} + y^{'} - 2 y = 5 e^{x}, \\ y (0) = 0, \\ y^{'} (0) = 0. \end{cases}

(2.5 puntos)

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 5 x + 2 y, \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + y, \end{cases} x (0) = 1, y (0) = 1.

(2.5 puntos)

Método	Fórmula
Bisección	$\frac{b - a}{2^{n + 1}} < ε$
Regula Falsi	$c = b - \frac{b - a}{f (b) - f (a)} f (b)$
Newton-Raphson	$x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f^{'} (x_{0})}$
Regla Punto Medio	$2 h \sum_{i = 1}^{n} f (x_{2 i - 1}), h = \frac{b - a}{2 n}$
Regla Trapecio	$\frac{h}{2} (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n})), h = \frac{b - a}{n}$
Regla Simpson	$\frac{h}{3} [f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{2 i}) + 4 \sum_{i = 1}^{n} f (x_{2 i - 1}) + f (x_{2 n})], h = \frac{b - a}{2 n}$
EDO1 lineales	$y (x) = e^{- \int P (x) d x} (\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + C)$
Sol part sistema NH	$X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ^{- 1} (t) F (t) d t$