Ejercicios tema 7

Ejercicio 1. Escribir el sistema en forma matricial:

(a) ${\begin{cases} x^{'} = x - y + t - 1 \\ y^{'} = 2 x + y - 3 t^{2} \end{cases}$

(b) ${\begin{cases} x^{'} = - 3 x + 4 y + e^{- t} sen (2 t) \\ y^{'} = 5 x + 9 y + 4 e^{- t} \cos (2 t) \end{cases}$

Ejercicio 2. Expresar en forma de sistema de ecuaciones el sistema matricial dado:

(a) $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - 7 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix}) sen t + (\begin{matrix} t - 4 \\ 2 t + 1 \end{matrix}) e^{4 t}$

(b) $X^{'} = (\begin{matrix} 7 & 5 & - 9 \\ 4 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 3 \end{matrix}) X + (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) e^{5 t} - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) e^{- 2 t}$

Ejercicio 3. Comprobar que

X = (\begin{matrix} 5 \cos t \\ 3 \cos t - sen t \end{matrix}) e^{t}

es solución del sistema

{\begin{cases} x^{'} = - 2 x + 5 y \\ y^{'} = - 2 x + 4 y \end{cases}

Ejercicio 4a
Determinar la solución general del sistema diferencial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 2 x + 2 y \\ \frac{d y}{d t} = x + 3 y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) e^{t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{4 t}

Ejercicio 4b
Determinar la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = - 2 x + 2 y \\ \frac{d y}{d t} = 8 x - 2 y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) e^{2 t} + c_{2} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) e^{- 6 t}

Ejercicio 5c
Determinar la solución general del sistema:

Y^{'} = (\begin{matrix} 12 & - 9 \\ 4 & 0 \end{matrix}) Y

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) e^{6 t} + c_{2} (\begin{matrix} 2 + 3 t \\ 1 + 2 t \end{matrix}) e^{6 t}

Ejercicio 6a
Determinar la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = x + y \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} \cos (\sqrt{2} t) \\ - \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} t) \end{matrix}) e^{t} + c_{2} (\begin{matrix} \sin (\sqrt{2} t) \\ \sqrt{2} \cos (\sqrt{2} t) \end{matrix}) e^{t}

Ejercicio 6b
Determinar la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 4 x + 5 y \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + 6 y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 5 \cos (3 t) \\ \cos (3 t) - 3 \sin (3 t) \end{matrix}) e^{5 t} + c_{2} (\begin{matrix} 5 \sin (3 t) \\ 3 \cos (3 t) + \sin (3 t) \end{matrix}) e^{5 t}

Ejercicio 7
Resolver el problema con condición inicial:

Y^{'} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{matrix}) Y, Y (0) = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix})

La solución es:

Y (t) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) e^{t / 2} + (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) e^{- t / 2}

Ejercicio 8. El núcleo radiactivo se descompone de acuerdo con la ley

\frac{d N}{d t} = - λ N,

donde $N$ es la concentración del núcleo dado y $λ$ la constante particular de desintegración. En una serie radiactiva de dos núcleos diferentes se tiene el sistema

{\begin{cases} \frac{d N_{1}}{d t} = - λ_{1} N_{1} \\ \frac{d N_{2}}{d t} = λ_{1} N_{1} - λ_{2} N_{2} \end{cases}

Calcular la solución $N_{2} (t)$ con las condiciones $N_{1} (0) = N_{0}$ y $N_{2} (0) = 0$ , siendo $λ_{1} = 1$ y $λ_{2} = 2$ .

Ejercicio 9
Calcular la solución general del siguiente sistema:

Y^{'} = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 2 & - 4 \end{matrix}) Y + (\begin{matrix} 3 \\ e^{- t} \end{matrix})

Solución:
Se resuelve en dos partes:
1. Sistema homogéneo asociado:

Y^{'} = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 2 & - 4 \end{matrix}) Y

Los autovalores son $λ_{1} = - 5$ , $λ_{2} = - 2$ , con vectores propios:

V_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}), V_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución homogénea:

Y_{h} (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) e^{- 5 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{- 2 t}

2. Solución particular (variación de constantes):

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{- 5 t} & e^{- 2 t} \\ - 2 e^{- 5 t} & e^{- 2 t} \end{matrix}), Φ^{- 1} (t) = (\begin{matrix} \frac{1}{3} e^{5 t} & - \frac{1}{3} e^{5 t} \\ \frac{2}{3} e^{2 t} & \frac{1}{3} e^{2 t} \end{matrix})

Multiplicación e integración dan:

Y_{p} (t) = (\begin{matrix} \frac{6}{5} + \frac{1}{4} e^{- t} \\ \frac{3}{5} + \frac{1}{2} e^{- t} \end{matrix})

Solución general:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) e^{- 5 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{- 2 t} + (\begin{matrix} \frac{6}{5} + \frac{1}{4} e^{- t} \\ \frac{3}{5} + \frac{1}{2} e^{- t} \end{matrix})

Ejercicio 10
Calcular la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 2 x - y \\ \frac{d y}{d t} = 3 x - 2 y + 4 t \end{cases}

Solución:
1. Sistema homogéneo asociado:

Y^{'} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix}) Y

Autovalores: $λ_{1} = - 1$ , $λ_{2} = 1$
Vectores propios:

V_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}), V_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución homogénea:

Y_{h} (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) e^{- t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{t}

2. Solución particular (variación de constantes):

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{- t} & e^{t} \\ 3 e^{- t} & e^{t} \end{matrix}), Φ^{- 1} (t) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} e^{t} & \frac{1}{2} e^{t} \\ \frac{3}{2} e^{- t} & - \frac{1}{2} e^{- t} \end{matrix})

Multiplicando por el vector $F$ y luego integrando:

Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} 0 \\ 4 t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 t e^{t} \\ - 2 t e^{- t} \end{matrix}) \Rightarrow \int Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} 0 \\ 4 t \end{matrix}) d t = (\begin{matrix} 2 t e^{t} - 2 e^{t} \\ 2 t e^{- t} + 2 e^{- t} \end{matrix})

\Rightarrow Y_{p} (t) = Φ (t) (\begin{matrix} 2 t e^{t} - 2 e^{t} \\ 2 t e^{- t} + 2 e^{- t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 t \\ 8 t - 4 \end{matrix})

Solución general:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) e^{- t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{t} + (\begin{matrix} 4 t \\ 8 t - 4 \end{matrix})

Ejercicios nuevos.

Ejercicio 1
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 3 x + 4 y \\ \frac{d y}{d t} = - x + 2 y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Solución:

{\begin{cases} x (t) = e^{\frac{5}{2} t} (\cos (\frac{\sqrt{15}}{2} t) + \frac{1}{\sqrt{15}} \sin (\frac{\sqrt{15}}{2} t)) \\ y (t) = e^{\frac{5}{2} t} (- \frac{2}{\sqrt{15}} \sin (\frac{\sqrt{15}}{2} t)) \end{cases}

Ejercicio 2
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = - 2 x + y \\ \frac{d y}{d t} = - x - 2 y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Solución:

{\begin{cases} x (t) = e^{- 2 t} \sin (t) \\ y (t) = e^{- 2 t} \cos (t) \end{cases}

Ejercicio 3
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 5 x - 3 y \\ \frac{d y}{d t} = 2 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

Solución:

{\begin{cases} x (t) = e^{3 t} (2 \cos (\sqrt{2} t) + \frac{7 \sqrt{2}}{2} \sin (\sqrt{2} t)) \\ y (t) = e^{3 t} (- \cos (\sqrt{2} t) + 3 \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} t)) \end{cases}

Ejercicio 4
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 4 x + y \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

Solución:

\begin{aligned} x (t) & = e^{2 t} (- 1 + 3 e^{t}) \\ y (t) & = - e^{2 t} (- 2 + 3 e^{t}) \end{aligned}

Ejercicio 5
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 5 x - 2 y \\ \frac{d y}{d t} = 4 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Solución:

\begin{aligned} x (t) & = - 3 e^{3 t} \sin (2 t) \\ y (t) & = 3 e^{3 t} (\cos (2 t) - \sin (2 t)) \end{aligned}

Ejercicio 6
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 2 x + 5 y \\ \frac{d y}{d t} = - 3 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución:

\begin{aligned} x (t) & = \frac{1}{59} e^{\frac{3 t}{2}} (59 \cos (\frac{\sqrt{59} t}{2}) + 11 \sqrt{59} \sin (\frac{\sqrt{59} t}{2})) \\ y (t) & = - \frac{1}{59} e^{\frac{3 t}{2}} (- 59 \cos (\frac{\sqrt{59} t}{2}) + 7 \sqrt{59} \sin (\frac{\sqrt{59} t}{2})) \end{aligned}

Ejercicio 7
Resuelve el PVI:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 7 x + y \\ \frac{d y}{d t} = - 4 x + 3 y \end{cases}, \vec{x} (0) = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \end{matrix})

Solución.
Autovalor doble $λ = 5$ . Autovector $(1, - 2)^{t}$ . Autovector generalizado: $(0, 1)^{t}$ .

\vec{x} (t) = c_{1} e^{5 t} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) + c_{2} (e^{5 t} t (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) + e^{5 t} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}))

$c_{1} = 2, c_{2} = - 1$ .

Ejercicio 8
Resuelve el sistema:

{\begin{cases} x^{'} (t) = 2 x (t) + 1 y (t) + 3, \\ y^{'} (t) = 1 x (t) + 2 y (t) + 1. \end{cases}

sabiendo que $x (0) = 1, y (0) = 3$ . Calcula $x (2), y (2)$
Solución ejercicio 8
En forma de matriz:

X^{'} = A X + b, A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) .

Solución del homogéneo

det (A - λ I) = | \begin{matrix} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{matrix} | = (2 - λ)^{2} - 1 \Rightarrow λ_{1} = 3, λ_{2} = 1.

For $λ_{1} = 3$ : $(A - 3 I) v = 0$ gives $v_{1} = (1, 1)^{T}$ .
For $λ_{2} = 1$ : gives $v_{2} = (1, - 1)^{T}$ .
Solución de la homogénea:

X_{h} (t) = C_{1} e^{3 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .

Buscamos ahora solución particular del no homogéneo:

X^{'} = A X + b, A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) .

usando

X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ (t)^{- 1} F d t,

Calcular $Φ^{- 1} (t)$ .

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{3 t} & e^{t} \\ e^{3 t} & - e^{t} \end{matrix}), det Φ = - 2 e^{4 t},

por lo que

Φ^{- 1} (t) = \frac{1}{- 2 e^{4 t}} (\begin{matrix} - e^{t} & - e^{t} \\ - e^{3 t} & e^{3 t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{2 e^{3 t}} \\ \frac{1}{2 e^{t}} & - \frac{1}{2 e^{t}} \end{matrix}) .

Multiplicar $Φ^{- 1} F$ .

Φ^{- 1} F = (\begin{matrix} \frac{1}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{2 e^{3 t}} \\ \frac{1}{2 e^{t}} & - \frac{1}{2 e^{t}} \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3 + 1}{2 e^{3 t}} \\ \frac{3 - 1}{2 e^{t}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 e^{- 3 t} \\ e^{- t} \end{matrix}) .

Integrar componente a componente.

\int Φ^{- 1} F d t = \int (\begin{matrix} 2 e^{- 3 t} \\ e^{- t} \end{matrix}) d t = (\begin{matrix} - \frac{2}{3} e^{- 3 t} \\ - e^{- t} \end{matrix}) .

Multiplicar por $Φ$ .

X_{p} (t) = Φ (t) (\begin{matrix} - \frac{2}{3} e^{- 3 t} \\ - e^{- t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{3 t} & e^{t} \\ e^{3 t} & - e^{t} \end{matrix}) (\begin{matrix} - \frac{2}{3} e^{- 3 t} \\ - e^{- t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} \end{matrix}) .

Por tanto, una solución particular del sistema es

X_{p} (t) = (\begin{matrix} - \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} \end{matrix}) .

Solución general:

X (t) = X_{h} (t) + X_{p} = \underset{homogeno}{\underset{⏟}{C_{1} e^{3 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})}} + \underset{particular}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} \frac{5}{3} \\ - \frac{1}{3} \end{matrix})}} .

En componentes:

\begin{aligned} x (t) & = - \frac{5}{3} + C_{1} e^{3 t} + C_{2} e^{t}, \\ y (t) & = + \frac{1}{3} + C_{1} e^{3 t} - C_{2} e^{t}, \end{aligned}

Ahora queda aplicar los valores iniciales

\begin{aligned} x (0) & = - \frac{5}{3} + C_{1} + C_{2} = 1 \\ y (0) & = \frac{1}{3} + C_{1} - C_{2} = 3 \end{aligned}

\begin{aligned} C_{1} + C_{2} & = \frac{8}{3} (1) \\ C_{1} - C_{2} & = \frac{8}{3} (2) \end{aligned}

Tenemos $C_{1} = 8 / 3$ y $C_{2} = 0$ . Sustituimos:

\begin{aligned} x (t) & = - \frac{5}{3} + \frac{8}{3} e^{3 t} \\ y (t) & = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} e^{3 t} \end{aligned}

Y ahora por fin

\begin{aligned} x (2) & \approx \frac{8}{3} \cdot 403.429 - \frac{5}{3} \approx 1075.811, \\ y (2) & \approx \frac{8}{3} \cdot 403.429 + \frac{1}{3} \approx 1081.478 \end{aligned}

Volver al temario.