Tema 5 - Ejercicios

Todas las funciones de la familia uniparamétrica

y = 2 \frac{1 + c e^{4 x}}{1 - c e^{4 x}},

son soluciones de la ecuación de primer orden $y^{'} = y^{2} - 4$ .
(a) Verificar que para $c = 1$ , la función resultante es solución de la ecuación. (Solución particular).
(b) Además la función constante $y = - 2$ es solución de la ecuación. (Solución singular).

Comprobar que la expresión indicada es solución implícita de la ecuación diferencial dada.

2 x y d x + (x^{2} - y) d y = 0; - 2 x^{2} y + y^{2} = 1

Comprobar que $y = c_{1} + c_{2} \cos x + c_{3} \sin x$ es una familia de soluciones de la ecuación $y^{‴} + y^{'} = 0$ .
Determinar $m$ para que $y = x^{m}$ sea solución de la ecuación $x y^{″} + 2 y^{'} = 0$ .
Determinar una región del plano $x y$ para la cual las ecuaciones diferenciales siguientes tengan solución única que pase por un punto $(x_{0}, y_{0})$ de la región:
$\begin{array}{ll} (a) & (y - x) y^{'} = y + x \\ (b) & y^{'} = y^{2 / 3} \\ (c) & y^{'} = \sqrt{x y} \\ (d) & (x^{2} + y^{2}) y^{'} = y^{2} \\ (e) & x y^{'} = y \\ (f) & y^{'} - y = x \end{array}$
Demostrar que en el intervalo $[0, π]$ , las funciones $y_{1} (x) = 1$ y $y_{2} (x) = \cos x$ satisfacen el problema con condición inicial $d y / d x + \sqrt{1 - y^{2}} = 0$ , $y (0) = 1$ . ¿Por qué este hecho no contradice las conclusiones del teorema de existencia y unicidad?
Determinar si el teorema de existencia y unicidad garantiza que la ecuación diferencial $y^{'} = \sqrt{y^{2} - 9}$ tenga una solución única que pase por el punto:
(a) $(1, 4)$ (b) $(5, 3)$ (c) $(2, - 3)$
Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones de variables separables:
(a) $y y^{'} = x$
(b) $x y^{'} - 4 y = 0$
(c) $y^{'} = 4 y - 10 y^{2}$
(d) $y^{'} = x \sqrt{y}$
Resolver las EDOs de primer orden homogéneas siguientes, comprobando previamente que lo son:
$\begin{aligned} (1) & (a) y^{'} & = - \frac{x + y}{x} \\ (2) & (b) y^{'} & = \frac{y}{2 (x + y)} \\ (3) & (c) y^{'} & = - \frac{y^{2} + y x}{x^{2}} \\ (4) & (d) y^{'} & = \frac{x + 3 y}{3 x + y} \end{aligned}$
Calcular el valor de $k$ para que la ecuación diferencial
$(6 x y^{3} + \cos y) d x + (k x^{2} y^{2} - x \sin y) d y = 0$
sea exacta y resolverla.
Determinar si las siguientes ecuaciones son exactas o no y resolverlas:
$\begin{aligned} (a) (2 x + y) d x + (x + 6 y) d y & = 0 \\ (b) (1 + \ln x - \frac{y}{x}) d x + (1 - \ln x) d y & = 0 \end{aligned}$
Buscar un factor integrante para las siguientes ecuaciones diferenciales y resolverlas:
$\begin{aligned} (a) (2 x y + y^{4}) d x + (3 x^{2} + 6 x y^{3}) d y & = 0 \\ (b) (x + y^{2}) d x - 2 x y d y & = 0 \\ (c) 3 x^{2} y d x + y d y & = 0 \\ (d) (2 x^{2} + y) d x + (x^{2} y - x) d y & = 0 \end{aligned}$
Dadas las ecuaciones siguientes, comprobar que no son exactas y que la función que se da en cada caso es un factor integrante. Resolverlas:
$\begin{aligned} (a) (4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y & = 0, μ (x) = x^{2} \\ (b) y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y & = 0, μ (y) = y \end{aligned}$
Determinar la solución general de las e.d.o. de primer orden lineales:
$\begin{aligned} (1) & (a) y^{'} + 2 y & = 0 \\ (2) & (b) 3 y^{'} + 12 y & = 4 \end{aligned}$ $\begin{aligned} (3) & (c) y^{'} + 2 x y & = x^{3} \\ (4) & (d) y d x = (y e^{y} - 2 x) d y \end{aligned}$
Ojo: a lo mejor tendrás que considerar en alguna ecuación la variable dependiente $x$ y la variable independiente $y$ .
Resolver las siguientes EDOs de primer orden:
$\begin{aligned} (1) & (a) 2 x^{3} y d x + (x^{4} + y^{4}) d y & = 0 \\ (2) & (b) y^{'} = (x + 1)^{2} \\ (3) & (c) y^{'} + y = y x e^{x + 2} \\ (4) & (d) (x + y) + x y^{'} & = 0 \\ (5) & (e) (1 - x^{3}) y^{'} = 3 x^{2} y + 1 \\ (6) & (f) y^{'} = \frac{y}{x + 2 y} \end{aligned}$
Resolver los siguientes PVIs de primer orden:
$\begin{aligned} (a) & {\begin{cases} y^{'} = 2 y + x e^{3 x} \\ y (0) = 2 \end{cases} \\ (b) & {\begin{cases} y^{'} = 1 + y - x \\ y (1) = 1 \end{cases} \\ (c) & {\begin{cases} (e^{x} + y) d x + (2 + x + y e^{y}) d y = 0 \\ y (0) = 1 \end{cases} \\ (d) & {\begin{cases} 2 (y^{2} + 1) d x = y \sec^{2} x d y \\ y (0) = 2 \end{cases} \end{aligned}$
Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reacción que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que se forman 30 gramos de C en 10 minutos. Determinar la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de reacción es proporcional a las cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto hay después de 15 minutos? ¿Qué ocurre con A, B y C cuando $t \to \infty$ ?
Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar otra sustancia C. La rapidez o velocidad de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y de B que no se han convertido en la sustancia C. Inicialmente hay 30 gramos de A y 50 gramos de B y por cada dos gramos de B se usan cuatro gramos de A. Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se forma en 20 minutos? ¿Cuál es la cantidad límite de C después de un tiempo largo?
Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia C. Al principio hay 10 gramos de A y 15 de B, y por cada gramo de B se consumen tres de A. Se observa que a los 4 minutos se han formado 5 gramos de C. ¿Cuántos gramos de C se forman a los 10 minutos? ¿Cuántos gramos sobrarán de A y de B?
Hemos encontrado un fósil de dinosaurio y se estima que la masa de C14 en el momento de la muerte era de 0,345 microgramos. En el momento actual la masa del carbono 14 es de 0,267 microgramos. Estimar la edad del fósil.
Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C14. Determinar la edad del fósil.
Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, encontrados en unas cuevas para determinar la fecha de unas pinturas rupestres. Determinar la edad aproximada de las pinturas si se encontró que había desaparecido el 93.4% del carbono 14 de la madera.
Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas su masa disminuyó en un 3%. Determinar la cantidad de sustancia que queda después de un día.
Antes del mediodía, el cuerpo de una víctima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante de 21º. Al mediodía, la temperatura del cuerpo es de 26º y una hora más tarde es de 24º. Si se considera que la temperatura de un cuerpo en condiciones normales es de 37º. ¿Cuál fue la hora de la muerte?
Tenemos un recipiente con agua hirviendo, pasado 10 minutos el agua se enfría a 80º, si la temperatura ambiente es de 25º. Calcular la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo la temperatura del agua será de 40º y de 26º?
Se introduce una lasaña, con temperatura 20°C, en un horno que está a 200°C. La temperatura al cabo de 10 minutos es de 80°C. ¿Cuánto tardará en estar a 120°C? ¿Cuál es la expresión general que describe la temperatura de la lasaña en un instante dado?
Un profesor del departamento de Matemáticas aparece asesinado en su despacho tras publicar las notas de septiembre. Se sabe que solía poner el aire acondicionado a 16°C y que la temperatura media de un ser humano es de 37°C. Además, el cadáver es encontrado a las siete de la tarde y su temperatura en ese momento es de 32°C. Media hora después, ya es de 31°C. ¿A qué hora falleció el profesor?
Un tanque está lleno de 100 litros de agua en la que hay disueltos 20 kilos de sal. Otra mezcla que contiene un kilogramo de sal por litro es bombeado al tanque a razón de 7 l/m. La solución bien mezclada es bombeada hacia el exterior a razón de 8 l/m. ¿Se vaciará totalmente el tanque?
Un tanque con capacidad de 500 litros, contiene 300 litros de agua. Una solución salina se bombea hacia el tanque a una velocidad de 3 l/m, la concentración de sal de este flujo de entrada es de 2 g/l. A su vez cuando se mezcla bien la solución sale a una velocidad de 2 l/m. ¿Cuánto tardará en que haya 500 gramos de sal en el tanque? ¿Cuándo se llena el tanque?
Un depósito contiene 100 litros de una disolución salina cuya concentración es de 2.5 gramos de sal por litro. Una disolución con 2 gramos de sal por litro entra en el depósito a una razón de 5 litros por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma velocidad. ¿qué cantidad de sal hay a los 10 minutos?