Tema 4: Métodos de integración numérica — Ejercicios aplicables

Ejercicio 1

Sea $f (x) = 5^{x}$ , calcular $\int_{0}^{1} f (x) d x$ utilizando la regla del trapecio y comparar con el resultado exacto.

Ejercicio 2

Aproximar $\int_{1}^{2} \ln x d x = 0.3862943 \dots$ utilizando:

(a) Las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson.
(b) La regla compuesta del punto medio con $n = 4$ .
(c) La regla compuesta del trapecio con $n = 4$ .
(d) La regla compuesta de Simpson con $n = 4$ .
(e) Comparar en cada apartado la aproximación con la solución exacta.

Ejercicio 3

Sea $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ .

(a) Aproximar $\int_{0}^{4} f (x) d x$ usando la regla compuesta del trapecio con $n = 4$ (nodos uniformemente espaciados). Comparar con la solución exacta.
(b) Aproximar $\int_{0}^{4} f (x) d x$ usando la regla compuesta del punto medio con $n = 4$ (nodos uniformemente espaciados). Comparar con la solución exacta.
(c) Calcular el número de nodos necesarios en ambos casos para que el error sea menor que $0.001$ .

Ejercicio 4

Aproximar $I = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sin x} d x$ .

(a) Primera aproximación mediante la regla de Simpson.
(b) Aproximación mediante la fórmula compuesta de Simpson con $n = 5$ .

Ejercicio 5

Aproximar $I = \int_{1}^{2} x \ln x d x$ mediante la regla del trapecio compuesta con $h = \frac{1}{8}$ . Calcular la cota del error.

Ejercicio 6

Dada $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ :

(a) Aproximar mediante las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson.
(b) Utilizar la regla compuesta de Simpson con $h = \frac{1}{4}$ .
(c) Comparar con el resultado exacto.

Ejercicio 7

Aproximar $I = \int_{1}^{3} (e^{x} + 1) d x$ .

(a) Aproximación mediante la regla de Simpson. Comparar con el valor exacto.
(b) Aproximación mediante el método del punto medio.
(c) Calcular la cota del error en ambos métodos.

Ejercicio 8

Aproximar $I = \int_{1}^{2} \ln x d x$ con $n = 4$ , usando los métodos del trapecio compuesto y de Simpson compuesto. Comparar con la solución exacta.

Ejercicio 9

Aproximar $\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{1 + \sqrt{x}} d x$ usando el método del trapecio y el del punto medio.

Ejercicio 10

Aproximar $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x$ utilizando siete nodos con el método del punto medio, del trapecio y de Simpson compuesto.

Ejercicio 11

Evaluar con el método del punto medio compuesto la integral de los siguientes datos:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
f(x)	1	7	4	3	5	2	1

Ejercicio 12

Evaluar la siguiente integral utilizando el método del punto medio compuesto con h=0.3:

\int_{0}^{3} \frac{e^{x} s e n x}{1 + x^{2}} d x .

Ejercicio 13

Evaluar $\int_{- 3}^{3} \ln (4 x^{2} + 4) d x$ utilizando el método del punto medio compuesto con siete nodos. Calcular la cota del error.

Ejercicio 14

Aproximar mediante los métodos del punto medio, del trapecio y de Simpson la integral $\int_{- 1}^{1} e^{- x^{2}} d x$ .

Ejercicio 15

Aproximar la integral del ejercicio anterior con las reglas compuestas con cinco nodos. Calcular el número de pasos necesarios para que el error sea menor que $0.01$ en la regla de Simpson compuesta.