Tema 4. Métodos de integración numérica

1. Introducción

Consideremos la función $f (x) = e^{- x^{2}}$ , cuya gráfica en el intervalo $[- 2, 2]$ es:
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¿Cómo calcularías el área que encierra dicha función con el eje $O X$ ?
Sabemos que dicha área corresponde con el valor de la integral:

\int_{- 2}^{2} e^{- x^{2}} d x

Pero, ¿y si no existe una primitiva elemental de dicha función? En este tema, introduciremos métodos numéricos basados en interpolación para aproximar el valor de integrales definidas.

2. Regla del punto medio

2.1 Fórmula de cuadratura

Aproximamos la función $f (x)$ por una constante, tomando el valor de la función en el punto medio del intervalo $[a, b]$ :

c = \frac{a + b}{2}

Entonces, la aproximación de la integral es:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx (b - a) f (\frac{a + b}{2})

Interpretación geométrica: Aproximamos el área bajo la curva por el área de un rectángulo con base $[a, b]$ y altura $f (\frac{a + b}{2})$ .
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2.2 Cota del error

El error cometido es:

E_{P m} (f) = \frac{(b - a)^{3}}{24} f^{″} (ξ), para ξ \in [a, b]

Cota del error:

| E_{P m} (f) | \leq \frac{(b - a)^{3}}{24} max_{x \in [a, b]} | f^{″} (x) |

2.3 Fórmula compuesta

Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de longitud $\frac{b - a}{n}$ . Lo más cómodo es definir $h = \frac{b - a}{2 n}$ , y $x_{i} = a + i \cdot h, i = 0, 1, \dots, 2 n$ .
La aproximación de la integral es:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx 2 h \sum_{i = 1}^{n} f (x_{2 i - 1}) .

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2.4 Cota del error y cálculo del número de nodos

Cota del error para el cálculo de nodos:

| E_{P m} (f) | \leq \frac{(b - a)^{3}}{24 n^{2}} max_{x \in [a, b]} | f^{″} (x) |

Ejemplo

Vamos a aplicar la regla del punto medio compuesta para aproximar la integral:

I = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x

dividiendo el intervalo en cuatro subintervalos.

El intervalo de integración es $[- 1, 1]$ , y dividimos en $n = 4$ subintervalos. Tomamos

h = \frac{b - a}{2 n} = \frac{1}{4}

y por tanto:

x_{0} = - 1, x_{1} = - \frac{3}{4}, x_{2} = - \frac{1}{2}, x_{3} = - \frac{1}{4}, x_{4} = 0,

x_{5} = \frac{1}{4}, x_{6} = \frac{1}{2}, x_{7} = \frac{3}{4}, x_{8} = 1.

Evaluamos en los impares:

f (- \frac{3}{4}) = \sqrt{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}

f (- \frac{1}{4}) = \sqrt{1 - {(- \frac{1}{4})}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}

f (\frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{15}}{4}, f (\frac{3}{4}) = \frac{\sqrt{7}}{4}

Aplicando la fórmula

I \approx \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4}] = 1.6297

La integral exacta es conocida, la mitad del área del círculo de radio 1:

I_{exacta} = \frac{π}{2}

luego el error cometido con la regla del punto medio compuesta es aproximadamente:

| E | = | 1.5708 - 1.6297 | \approx 0.0589

3. Regla del trapecio

Fórmula de cuadratura

Aproximamos $f (x)$ por una recta que une los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ :

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{f (a) + f (b)}{2} (b - a)

Interpretación geométrica: Aproximamos el área bajo la curva por el área de un trapecio con bases $f (a)$ y $f (b)$ . Recuerda que la fórmula del área de un trapecio es

A = \frac{B_{m a y o r} + B_{m e n o r}}{2} \cdot a l t u r a

Fórmula compuesta

Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de longitud $\frac{b - a}{n}$ . Tenemos $x_{i} = a + i \cdot h, i = 0, 1, \dots, n$
La aproximación es:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{2} (f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (x_{n}))

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Cota del error:

| E_{T r} (f) | \leq \frac{(b - a)^{3}}{12 n^{2}} max_{x \in [a, b]} | f^{″} (x) |

Ejemplo

Para calcular la integral $I = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ utilizando la regla compuesta del trapecio con cuatro subintervalos, seguimos los siguientes pasos:
Tomamos $h = \frac{b - a}{n} = \frac{1}{2}$ . Los puntos $x_{i}$ se calculan como:

x_{0} = - 1, x_{1} = - 0.5, x_{2} = 0, x_{3} = 0.5, x_{4} = 1

Evaluamos $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ en cada $x_{i}$ :

\begin{aligned} f (x_{0}) & = f (- 1) = \sqrt{1 - (- 1)^{2}} = 0 \\ f (x_{1}) & = f (- 0.5) = \sqrt{1 - (- 0.5)^{2}} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660 \\ f (x_{2}) & = f (0) = \sqrt{1 - 0^{2}} = 1 \\ f (x_{3}) & = f (0.5) = \sqrt{1 - {0.5}^{2}} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660 \\ f (x_{4}) & = f (1) = \sqrt{1 - 1^{2}} = 0 \end{aligned}

Sustituyendo los valores:

\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x & \approx 0.5 (\frac{f (x_{0})}{2} + f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + \frac{f (x_{4})}{2}) \\ = 0.5 (\frac{0}{2} + 0.8660 + 1 + 0.8660 + \frac{0}{2}) \\ = 0.5 (0 + 0.8660 + 1 + 0.8660 + 0) \\ = 0.5 (2.7320) \\ = 1.3660 \end{aligned}

Error cometido:

| E | = | 1.5708 - 1.3660 | \approx 0.2048

4. Regla de Simpson

4.1 Fórmula de cuadratura

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{6} (f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b))

Idea: aproximamos la función con un polinomio de grado 2.
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4.2 Cota del error

E_{S} (f) = - \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{i v} (ξ)

4.3 Fórmula compuesta y cota del error

Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de longitud $\frac{b - a}{n}$ . Al igual que en la fórmula del punto medio, lo más cómodo es definir $h = \frac{b - a}{2 n}$ , y $x_{i} = a + i \cdot h, i = 0, 1, \dots, 2 n$ .
La aproximación de la integral es:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{h}{3} [f (x_{0}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{2 i}) + 4 \sum_{i = 1}^{n} f (x_{2 i - 1}) + f (x_{2 n})]

| E_{S} (f) | \leq \frac{(b - a)^{5}}{2880 n^{4}} max_{x \in [a, b]} | f^{i v} (x) |

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Ejemplo

Para calcular la integral $I = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ utilizando la regla compuesta de Simpson con cuatro subintervalos, seguimos los siguientes pasos. Tenemos $h = \frac{b - a}{2 n} = \frac{1}{4}$

x_{0} = - 1, x_{1} = - 0.75, x_{2} = - 0.5, x_{3} = - 0.25, x_{4} = 0, x_{5} = 0.25, x_{6} = 0.5, x_{7} = 0.75, x_{8} = 1

Evaluamos $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ en cada $x_{i}$ :

\begin{aligned} f (x_{0}) & = f (- 1) = \sqrt{1 - (- 1)^{2}} = 0 \\ f (x_{1}) & = f (- 0.75) = \sqrt{1 - (- 0.75)^{2}} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375} \approx 0.6614 \\ f (x_{2}) & = f (- 0.5) = \sqrt{1 - (- 0.5)^{2}} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660 \\ f (x_{3}) & = f (- 0.25) = \sqrt{1 - (- 0.25)^{2}} = \sqrt{1 - 0.0625} = \sqrt{0.9375} \approx 0.9682 \\ f (x_{4}) & = f (0) = \sqrt{1 - 0^{2}} = 1 \\ f (x_{5}) & = f (0.25) = \sqrt{1 - {0.25}^{2}} = \sqrt{1 - 0.0625} = \sqrt{0.9375} \approx 0.9682 \\ f (x_{6}) & = f (0.5) = \sqrt{1 - {0.5}^{2}} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660 \\ f (x_{7}) & = f (0.75) = \sqrt{1 - {0.75}^{2}} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375} \approx 0.6614 \\ f (x_{8}) & = f (1) = \sqrt{1 - 1^{2}} = 0 \end{aligned}

Sustituyendo los valores:

\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x & \approx \frac{1 / 4}{3} [f (x_{0}) + 2 (f (x_{2}) + f (x_{4}) + f (x_{6})) + 4 (f (x_{1}) + f (x_{3}) + f (x_{5}) + f (x_{7})) + f (x_{8})] \\ = \frac{1}{12} [0 + 2 (0.8660 + 1 + 0.8660) + 4 (0.6614 + 0.9682 + 0.9682 + 0.6614) + 0] \\ = \frac{1}{12} [0 + 2 (2.7320) + 4 (3.2592) + 0] \\ = \frac{1}{12} [0 + 5.4640 + 13.0368 + 0] \\ = \frac{1}{12} [18.5008] \\ \approx 1.5417 \end{aligned}

Error cometido:

| E | = | 1.5708 - 1.5417 | \approx 0.0361

5. Aclaración sobre nodos, subintervalos y el incremento $h$ :

$n$ es el número de subintervalos
$n + 1$ es el número de nodos. No son los puntos $x_{i}$ , en general.
$h$ varía según el método, pero no es que dé lugar a más nodos, sino a más puntos $x_{i}$ . En trapecio los $x_{i}$ son todos los nodos, pero en punto medio y Simpson los nodos son solamente los puntos en posición par: $x_{2 i}$ .

6. Acotación del error

Ejemplo 1: Punto Medio Compuesto

Enunciado: Determina el número mínimo de subintervalos ( $n$ ) necesarios para aproximar la integral $\int_{0}^{1} x^{3} d x$ mediante la regla del punto medio compuesto con un error absoluto menor que $0.001$ .

Para el método compuesto, la fórmula es:

| E_{M} | \leq \frac{(b - a)^{3}}{24 n^{2}} max_{x \in [a, b]} | f^{″} (x) |

Intervalo: $[0, 1] ⟹ b - a = 1$
Función: $f (x) = x^{3} ⟹ f^{'} (x) = 3 x^{2} ⟹ f^{″} (x) = 6 x$
Máximo de $| f^{″} (x) |$ en $[0, 1]$ es $6$ (en $x = 1$ ).

Queremos que $| E_{M} | < 0.001$ :

\frac{1^{3}}{24 n^{2}} \cdot 6 < 0.001

\frac{6}{24 n^{2}} < 0.001 ⟹ \frac{1}{4 n^{2}} < 0.001

4 n^{2} > \frac{1}{0.001} ⟹ 4 n^{2} > 1000 ⟹ n^{2} > 250

n > \sqrt{250} \approx 15.81

Resultado: Se necesitan al menos $n = 16$ subintervalos.

Ejemplo 2: Simpson Compuesto

Enunciado: Determina el número mínimo de subintervalos ( $n$ ) necesarios para aproximar $\int_{0}^{π / 2} \sin (x) d x$ mediante la regla de Simpson compuesta con un error menor que $0.001$ .

En este caso tenemos:

| E_{S} (f) | \leq \frac{(b - a)^{5}}{2880 n^{4}} max_{x \in [a, b]} | f^{i v} (x) | < 0.001

Intervalo: $[0, π / 2] ⟹ b - a = π / 2 \approx 1.5708$
Derivadas: $f (x) = \sin (x) \dots ⟹ f^{(4)} (x) = \sin (x)$
Máximo de $| f^{(4)} (x) |$ en $[0, π / 2]$ es $1$ (en $x = π / 2$ ).

Queremos que el error sea menor que $0.001$ :

\frac{(1.5708)^{5}}{2880 \cdot n^{4}} \cdot 1 < 0.001

\frac{9.5885}{2880 \cdot n^{4}} < 0.001

9.5885 < 0.001 \cdot 2880 \cdot n^{4}

9.5885 < 2.88 \cdot n^{4}

n^{4} > \frac{9.5885}{2.88} \approx 3.3293

n > \sqrt[4]{3.3293}

n > 1.3506

Como $n$ debe ser un número entero de subintervalos:
$n = 2$ subintervalos.

Aclaración:
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Divides $[0, π / 2]$ en dos subintervalos: $[0, π / 4]$ y $[π / 4, π / 2]$ .
En cada uno usas el punto medio ( $π / 8$ y $3 π / 8$ ).
En total estarás evaluando la función en 5 puntos (los 3 extremos y los 2 puntos medios).

Tema 4. Métodos de integración numérica

1. Introducción

2. Regla del punto medio

2.1 Fórmula de cuadratura

2.2 Cota del error

2.3 Fórmula compuesta

2.4 Cota del error y cálculo del número de nodos

Ejemplo

3. Regla del trapecio

Fórmula de cuadratura

Fórmula compuesta

Ejemplo

4. Regla de Simpson

4.1 Fórmula de cuadratura

4.2 Cota del error

4.3 Fórmula compuesta y cota del error

Ejemplo

5. Aclaración sobre nodos, subintervalos y el incremento h:

6. Acotación del error

Ejemplo 1: Punto Medio Compuesto

Ejemplo 2: Simpson Compuesto

5. Aclaración sobre nodos, subintervalos y el incremento $h$ :