Tema 3: Interpolación y aproximación de funciones

1. En una estación de metro pasan convoys cada 10 minutos durante las primeras horas de la mañana. A las 8 de la mañana suben al convoy 30 personas, 26 a las 8 y media y 21 a las 9. Estima (usando el polinomio de interpolación de Newton) cuántas personas suben a las $8:20$.

2. Se considera la función $f(x)=5^x$.

   • (a) Utilizar el método de diferencias divididas de Newton para calcular el polinomio de interpolación de los puntos $(-1,f(-1))$, $(0,f(0))$ y $(1,f(1))$.

3. Se consideran los puntos $Q_1=(2,3)$, $Q_2=(4,-1)$, $Q_3=(6,4)$, $Q_4=(8,0)$ y $Q_5=(10,-1)$.

   • (a) Calcular el polinomio de interpolación de los puntos $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$ usando las diferencias divididas de Newton.
   • (b) Utilizar las diferencias divididas del apartado anterior para calcular el polinomio de interpolación de los puntos $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$, $Q_5$.

4. Consideremos la función $f(x)=e^{\mathrm{sen}x}$.

   • (b) Utilizar el método de las diferencias divididas de Newton para calcular su polinomio de interpolación en los mismos puntos.
   • (c) Calcular el error cometido al considerar el valor $p(1.5)$ como aproximación de $f(1.5)$ en ambos casos.

5. Se considera la función $f(x)=\ln (1+x)$.

   • (a) Calcular el polinomio de interpolación de Hermite en los puntos $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$.
   • (b) Dar una aproximación de $\ln (2.5)$.

6. Consideremos la función $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$.
   *

   • (b) Utilizar el método de las diferencias divididas de Newton para calcular su polinomio de interpolación en los mismos puntos.
   • (c) Aproximar $f(1.5)$ haciendo uso de ambos polinomios.

7. Sea $f(x)=\mathrm{sen}x$.

   • (a) Utilizar el método de las diferencias divididas de Newton para calcular su polinomio de interpolación en $x_0=0$, $x_1=\frac{\pi }{6}$, $x_2=\frac{\pi }{3}$ y $x_3=\frac{\pi }{2}$.
   • (b) Utilizar el polinomio de interpolación de Hermite en los puntos $x_0$ y $x_2$.

8. Sea $f(x)=\cos x$.

   • (a) Calcular el polinomio de interpolación con diferencias divididas en los puntos $0$, $\frac{\pi }{2}$ y $\pi$.
   • (b) Calcular el polinomio de interpolación de Hermite en los mismos puntos que antes.
   • (c) Obtener la aproximación del valor $\cos (\frac{\pi }{4})$ usando los polinomios anteriores.

9. Dada la función $f(x)=2^{1/x}$.

   • (a) Hallar el polinomio de interpolación de $f(x)$ sobre el conjunto de puntos $x_0=0.5$, $x_1=1$, $x_2=1.5$, $x_3=2$ y $x_4=2.5$, mediante el método de las diferencias divididas de Newton.
   • (b) Usar dicho polinomio para calcular un valor aproximado de $\sqrt{2}$. Hallar una estimación del error cometido.

10. Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio $P(x)$ que satisfaga $P(-1)=-1$, $P^{\prime }(-1)=14$, $P(2)=4$ y $P^{\prime }(2)=5$.

11. Calcular $f(\frac{1}{8})$ a partir de una aproximación de la función $f(x)=\mathrm{tg}(\pi x)$ con el polinomio de interpolación de Hermite en los puntos $0$ y $\frac{1}{4}$.

12. Calcular el polinomio de Hermite que interpola la siguiente tabla: