Hoja de Ejercicios: Resolución Numérica de Ecuaciones

Ejercicio 1

Enunciado: Demostrar que la ecuación $x^{4} - 4 x - 1 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales y dar un intervalo al que pertenezcan cada una de ellas.

Solución:
Consideramos la función $f (x) = x^{4} - 4 x - 1$ , que es continua y derivable. Buscamos sus puntos críticos:

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 = 0 \Rightarrow x = 1

Evaluamos la función en el punto crítico: $f (1) = - 4 < 0$ .
Analizamos los límites y puntos de prueba para determinar cambios de signo:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $f (- 1) = 4 > 0$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $f (2) = 7 > 0$ .

Conclusión: Existen cambios de signo en los intervalos $[- 1, 1]$ y $[1, 2]$ , por lo que existen solo dos soluciones reales, una en cada intervalo.

Ejercicio 2

Enunciado: Demostrar que la ecuación $x^{4} + x^{3} + x^{2} - 2 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales y dar un intervalo al que pertenezcan cada una de ellas.

Solución:
Sea $f (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} - 2$ . Puntos críticos:

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = x (4 x^{2} + 3 x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0

Evaluamos en el punto crítico: $f (0) = - 2 < 0$ .
Límites y puntos de prueba:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $f (- 2) = 10 > 0$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $f (1) = 1 > 0$ .

Conclusión: Hay dos intervalos con cambios de signo: $[- 2, 0]$ y $[0, 1]$ . Existen solo dos soluciones reales.

Ejercicio 3

Enunciado: Demostrar que la ecuación $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 2 = 0$ tiene exactamente tres soluciones reales y dar un intervalo al que pertenezcan cada una de ellas.

Solución:
Sea $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 2$ . Puntos críticos:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \Rightarrow x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = 3

Evaluamos la función en los críticos: $f (\frac{1}{3}) = \frac{67}{27} > 0$ y $f (3) = - 7 < 0$ .
Límites y puntos de prueba:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ . Punto de prueba: $f (- 1) = - 7 < 0$ .
$lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $f (5) = 17 > 0$ .

Conclusión: Tres intervalos con cambio de signo: $[- 1, 1 / 3]$ , $[1 / 3, 3]$ y $[3, 5]$ . Existen tres soluciones reales.

Ejercicio 4

Enunciado: Demostrar que las curvas $y = e^{x - 2}$ e $y = - x^{2} + 4$ se cortan exactamente en dos puntos y dar un intervalo al que pertenezcan cada uno de ellos.

Solución:
Definimos $h (x) = e^{x - 2} - (- x^{2} + 4)$ .
Puntos críticos: $h^{'} (x) = e^{x - 2} + 2 x = 0 \Rightarrow x \approx - 0.063$ .
Evaluamos: $h (- 0.063) = - 3.868 < 0$ .
Límites y puntos de prueba:

$lim_{x \to - \infty} h (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $h (- 3) = 5.006 > 0$ .
$lim_{x \to + \infty} h (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $h (3) = 7.718 > 0$ .

Conclusión: Intervalos con cambio de signo: $[- 3, - 0.063]$ y $[- 0.063, 3]$ . Existen dos puntos de corte.

Ejercicio 5

Enunciado: ¿En cuántos puntos se intersecan las curvas $y = \ln x$ e $y = \frac{1}{9} x^{2}$ ?

Solución:
Sea $h (x) = \ln x - \frac{1}{9} x^{2}$ , definida para $x > 0$ .
Puntos críticos: $h^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{9} x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$ .
Evaluamos: $h (\frac{3}{\sqrt{2}}) = 0.252 > 0$ .
Límites y puntos de prueba:

$lim_{x \to 0^{+}} h (x) = - \infty$ . Punto de prueba: $h (1) = - 0.111 < 0$ .
$lim_{x \to + \infty} h (x) = - \infty$ . Punto de prueba: $h (4) = - 0.391 < 0$ .

Conclusión: Existen dos intervalos con cambio de signo: $[1, 2.12]$ y $[2.12, 4]$ . Existen dos puntos de corte.

Ejercicio 6

Enunciado: ¿En cuántos puntos se intersecan las curvas $y = e^{x}$ e $y = 3 x^{2}$ ?

Solución:
Sea $h (x) = e^{x} - 3 x^{2}$ . Puntos críticos: $x_{1} = 0.204$ , $x_{2} = 2.833$ .
Evaluamos: $h (0.204) = 1.101 > 0$ y $h (2.833) = - 7.081 < 0$ .
Límites y puntos de prueba:

$lim_{x \to - \infty} h (x) = - \infty$ . Punto de prueba: $h (- 1) = - 2.632 < 0$ .
$lim_{x \to + \infty} h (x) = + \infty$ . Punto de prueba: $h (4) = 6.598 > 0$ .

Conclusión: Tres intervalos con cambio de signo: $[- 1, 0.204]$ , $[0.204, 2.833]$ y $[2.833, 4]$ . Existen tres puntos de corte.

Ejercicio 7

Enunciado: Demostrar que $1 - x = \tan x$ tiene una única solución en $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ . Aproximar con Bisección y Newton.

Solución:

Existencia y Unicidad: $f (x) = 1 - x - \tan x$ . $f (- \frac{π}{4}) \approx 2.785 > 0$ , $f (\frac{π}{4}) \approx - 0.785 < 0$ . La derivada $f^{'} (x) = - 2 - \tan^{2} x$ es siempre negativa, por lo que la función es monótona decreciente y la raíz es única.
Bisección (3 aprox.): $c_{0} = 0$ ; $c_{1} = \frac{π}{8}$ ; $c_{2} = \frac{3 π}{16}$ . Solución aprox: $0.589$ .
Newton ( $x_{0} = 0$ ): $x_{1} = 0.5$ ; $x_{2} = 0.479$ ; $x_{3} = 0.479$ .

Ejercicio 8

Enunciado: Dada la ecuación $\cos x - x = 0$ , probar unicidad en $[0, \frac{π}{2}]$ y aproximar con Bisección y Newton.

Solución:

Existencia y Unicidad: $f (0) = 1 > 0$ , $f (\frac{π}{2}) \approx - 1.57 < 0$ . $f^{'} (x) = - \sin x - 1$ , no se anula en el intervalo. Solución única.
Bisección: Solución aprox $c_{3} \approx 0.687$ . Para error $< 10^{- 3}$ , se requieren 10 iteraciones.
Newton ( $x_{0} = \frac{π}{4}$ ): $x_{1} = 0.7395$ ; $x_{2} = 0.7390$ ; $x_{3} = 0.7390$ .

Ejercicio 9

Enunciado: Dada $2 x - e^{- x} = 0$ , probar unicidad en $[0, 1]$ y aproximar con Bisección y Newton.

Solución:

Existencia y Unicidad: $f (0) = - 1 < 0$ , $f (1) \approx 1.632 > 0$ . $f^{'} (x) = 2 + e^{- x} > 0$ . Solución única.
Bisección: Solución aprox $c_{3} = 0.312$ . Para error $< 10^{- 2}$ se requieren 6 iteraciones.
Newton ( $x_{0} = 0.5$ ): $x_{1} = 0.349$ ; $x_{2} = 0.351$ .

Ejercicio 10

Enunciado: ¿Es aplicable el método de Bisección a $f (x) = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{2}$ en $[3, 7]$ y en $[1, 7]$ ?

Solución:

En $[3, 7]$ : SÍ. $f$ es continua en el intervalo, $f (3) = 1 / 2 > 0$ y $f (7) = - 3 / 10 < 0$ .
En $[1, 7]$ : NO. La función presenta una discontinuidad en $x = 2$ .
Raíz en $[3, 7]$ : $c_{0} = 5, f (5) < 0 \Rightarrow [3, 5]$ . $c_{1} = 4, f (4) = 0$ . La raíz exacta es $x = 4$ .

Ejercicio 11

Enunciado: Estudia la unicidad de $f (x) = 2 x - 3 e^{- x}$ en $[0, 1]$ y realiza dos iteraciones de Newton.

Solución:

Unicidad: $f (0) = - 3$ , $f (1) \approx 0.896$ . $f^{'} (x) = 2 + 3 e^{- x} > 0$ . Solución única.
Newton ( $x_{0} = 0.5$ ): $x_{1} = 0.714$ ; $x_{2} = 0.725$ .

Ejercicio 12

Enunciado: Aproximar la solución de $x^{3} - x + 1 = 0$ en $[- 2, 0]$ con Regula Falsi y Newton.

Solución:

Regula Falsi: $c_{0} = - 0.333$ ; $c_{1} = - 0.676$ ; $c_{2} = - 0.960$ .
Newton ( $x_{0} = - 1$ ): $x_{1} = - 1.5$ ; $x_{2} = - 1.347$ .

Ejercicio 13

Enunciado: Aplicar Regula Falsi en $[0, 1]$ a $e^{- x} - x = 0$ hasta que $| c_{n} - c_{n - 1} | \leq 0.005$ .

Solución:

$c_{0} = 0.612$ .
$c_{1} = 0.572$ ( $| c_{1} - c_{0} | = 0.04$ ).
$c_{2} = 0.568$ ( $| c_{2} - c_{1} | = 0.004 < 0.005$ ).
Aproximación final: $0.567$ .

Ejercicio 14

Enunciado: Realizar dos iteraciones de Regula Falsi para $(x - 1) e^{- x} = 0$ en $[0, 3]$ .

Solución:

$c_{0} = 2.728$ .
$c_{1} = 2.451$ .
$c_{2} = 2.205$ .

Ejercicio 15

Enunciado: Realizar dos iteraciones de Regula Falsi para $x \cos x - e^{x} + 1 = 0$ en $[- 1, - 0.2]$ .

Solución:

$c_{0} = - 0.310$ .
$c_{1} = - 0.475$ .
$c_{2} = - 0.645$ .

Ejercicio 16

Enunciado: Sea $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ . Demostrar unicidad en $[- 3, - 1.5]$ y calcular aproximación con Regula Falsi.

Solución:

Unicidad: $f (- 3) = - 16$ , $f (- 1.5) = 3.125$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ tiene raíces en $\pm 1$ , fuera del intervalo. Solución única.
Regula Falsi: $c_{0} = - 1.74$ ; $c_{1} = - 1.87$ ; $c_{2} = - 1.94$ .
Aproximación final: $c_{3} = - 1.975$ .

Ejercicio 17

Enunciado: Demostrar que $\frac{1}{x} - e^{x} = 0$ tiene solución única en $[0.1, 2.1]$ y aproximar con Bisección.

Solución:

Unicidad: $f (0.1) = 8.894$ , $f (2.1) = - 7.689$ . $f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}} - e^{x} < 0$ . Solución única.
Bisección (3 iteraciones): $c_{0} = 1.1$ ; $c_{1} = 0.6$ ; $c_{2} = 0.35$ .
Aproximación final: $c_{3} = 0.475$ .