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Matemáticas CCMar. Relación 6

1. Calcula las siguientes integrales:

(a) $\int (6 x^{2} + 8 x + 3) d x$	(n) $\int \frac{1}{x^{2} - 4} d x$
(b) $\int (x^{3} + 5)^{2} d x$	(o) $\int x s e n x d x$
(c) $\int \frac{3}{2 x + 1} d x$	(p) $\int \frac{3 + 4 x}{x^{2} + 1} d x$
(d) $\int \frac{x}{(x + 1)^{2}} d x$	(q) $\int_{1}^{2} (x^{2} - 2 x + 5) e^{- x} d x$
(e) $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$	(r) $\int (L n x)^{2} d x$
(f) $\int_{0}^{1} 4^{2 - 3 x} d x$	(s) $\int x a r c t a n x d x$
(g) $\int x e^{x^{2} + 1} d x$	(t) $\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$
(h) $\int \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} d x$	(u) $\int L n \frac{x^{2}}{9} d x$
(i) $\int \arctan x d x$	(v) $\int x e^{x} d x$
(j) $\int L n x d x$	(w) $\int \frac{x + 3}{x^{2} + x} d x$
(k) $\int \frac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$	(x) $x^{2} e^{x} d x$
(l) $\int_{1}^{2} s e n (L n x) \frac{d x}{x}$	(y) $\int \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} d x$
(m) $\int \frac{4}{x^{3} + 2 x^{2} + x} d x$	(z) $\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 1} d x$

2. Calcula el área encerrada por

(a) $x = - 3$ , $x = 1$ , la gráfica de $y = e^{- x}$ y el eje X.
(b) $x = 0$ , $x = π$ , la gráfica de $f (x) = c o s 2 x$ y el eje X.
(c) $x = 0$ , $x = 2$ , la gráfica de $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ y el eje X.
(d) $x = - 1$ , $x = 4$ , la gráfica de $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 19 x - 12$ y el eje X.

3. Ejercicios de Integrales Múltiples

I. Integrales Dobles sobre Rectángulos (Teorema de Fubini)

Ejercicio 1. Calcula $\iint_{R} (x + 2 y) d A$ en el recinto $R = [0, 1] \times [0, 1]$ .

Ejercicio 2. Calcula $\iint_{R} x y (x + y) d A$ en el recinto $R = [0, 1] \times [0, 1]$ .

Ejercicio 3. Calcula $\iint_{R} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} d A$ en el recinto $R = [0, 1] \times [0, 1]$ .

Ejercicio 4. Calcula $\iint_{R} \frac{1}{(x + y)^{2}} d A$ en el recinto $R = [3, 4] \times [1, 2]$ .

Ejercicio 5. Calcula $\iint_{R} \frac{1}{\sqrt{x}} d A$ en el recinto $R = [0, 1] \times [0, 1]$ .

II. Integrales Dobles sobre Regiones Generales

Ejercicio 7. Calcula $\iint_{R} \frac{1}{(x + y)^{2}} d A$ en el recinto definido por:

R \equiv {\begin{cases} 1 \leq x \leq 2 \\ x \leq y \leq 2 x \end{cases}

Ejercicio 8. Calcula $\iint_{R} (2 x y^{2} + 2 y \cos x) d A$ en el recinto delimitado por $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$ , $y = 3$ .

Ejercicio 9. Calcula $\iint_{R} x d A$ en el recinto definido por:

R \equiv {\begin{cases} - 6 \leq y \leq 2 \\ \frac{y^{2}}{4} - 1 \leq x \leq 2 - y \end{cases}

Ejercicio 11. Sea $Ω$ la región triangular con vértices en $(0, 0)$ , $(2, 0)$ y $(2, 2)$ .

a) Plantea la integral de $f (x, y) = x y$ como Tipo I (vertical).

b) Plantea la integral como Tipo II (horizontal).

III. Cambio de Orden de Integración

Ejercicio 12. Dada la integral $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x$ :

a) Dibuja la región de integración.

b) Cambia el orden de integración para que sea calculable.

c) Resuelve la integral.

IV. Aplicaciones (Área, Volumen, Masa)

Ejercicio 13 (Área). Calcula el área del recinto $R$ delimitado por $1 \leq x \leq 3$ y $x^{2} \leq y \leq x + 9$ mediante la integral $\iint_{R} 1 d A$ .

Ejercicio 14 (Área). Calcula el área de la mancha acotada por la parábola $y = x^{2}$ y la recta $y = 4$ .

Ejercicio 15 (Volumen). Calcula el volumen bajo la superficie $z = 10 - x - y$ y sobre el cuadrado $Ω = [0, 1] \times [0, 1]$ .

Ejercicio 16 (Masa). Calcula la masa total de una placa rectangular $Ω = [0, 1] \times [0, 1]$ cuya densidad es variable y viene dada por $σ (x, y) = 2 x$ .

V. Integrales Triples

Ejercicio 17. Calcula la integral triple $∭_{Ω} x y z d V$ en la caja rectangular $Ω = [0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ .

Ejercicio 18. Calcula la masa del prisma $Ω = [0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ sabiendo que su densidad es constante $σ (x, y, z) = 3$ .
Ejercicio 19. Calcula la masa del prisma $Ω = [0, 2] \times [0, 2] \times [0, 10]$ sabiendo que su densidad va disminuyendo con la altura, de acuerdo a la función $σ (x, y, z) = 11 - z$ .