Tema 3: Diagonalización

1. Motivación e Interpretación en Sistemas Dinámicos

1.1. Modelización de Poblaciones y Matriz de Transición

Definición. Un sistema dinámico discreto lineal describe la evolución temporal de variables interrelacionadas a intervalos regulares mediante una ecuación de recurrencia de la forma $X_{k + 1} = A \cdot X_{k}$ , donde $A$ es la matriz de transición del sistema y $X_{k}$ representa el vector de estado en el periodo $k$ .

Interpretación biológica. En modelos poblacionales (como la dinámica de dos poblaciones de peces $x$ e $y$ ), los coeficientes de la matriz $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ reflejan tanto el crecimiento propio como las interacciones ecológicas:

Tasa propia de crecimiento ( $a_{11}, a_{22}$ ): Mide el ritmo de autorreproducción anual de cada especie en ausencia de influencias externas.
Tasa de interacción ( $a_{12}, a_{21}$ ): Mide la influencia de una especie sobre la otra. Un valor positivo ( $a_{i j} > 0$ ) representa una relación de mutualismo o beneficio mutuo, donde la presencia de la especie $j$ favorece la multiplicación de la especie $i$ .

1.2. Evolución a Largo Plazo y el Problema de la Potencia Matricial

Propiedad. Si la condición inicial del sistema en el instante $t = 0$ es el vector $X_{0}$ , la población tras $n$ periodos o años viene determinada por la aplicación iterada de la matriz de transición:

X_{n} = A^{n} \cdot X_{0}

Ejemplo 1.1: Modelización matricial de dos poblaciones de peces interrelacionadas

Calcular la matriz de transición del sistema y plantear la ecuación matricial para determinar la población tras 20 años de dos especies de peces $x$ e $y$ cuyas poblaciones anuales futuras $\bar{x}$ e $\bar{y}$ vienen dadas por:

{\begin{cases} \bar{x} = 3 x + y \\ \bar{y} = 2 x + 2 y \end{cases}

partiendo de una población inicial $x_{0} = 5$ e $y_{0} = 2$ .

Desarrollo paso a paso:

Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial relacionando el vector de estado futuro $\bar{X} = (\begin{matrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{matrix})$ con el vector de estado actual $X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ :

(\begin{matrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

Identificamos la matriz de transición $A$ :

A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})

Interpretamos los coeficientes: El valor $3$ indica que cada pez de la especie $x$ produce $3$ individuos para el siguiente año; el valor $1$ expresa que cada pez de la especie $y$ contribuye a aumentar en $1$ individuo la población de $x$ (mutualismo). Asimismo, $2 x$ representa la aportación de $x$ al crecimiento de $y$ , y $2 y$ representa la tasa propia de crecimiento de $y$ .
Planteamos la ecuación para la población transcurridos $n = 20$ años con la condición inicial $X_{0} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ :

X_{20} = A^{20} \cdot X_{0} = A^{20} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

Solución: La matriz de transición es $A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})$ y la relación matricial tras 20 años es $X_{20} = A^{20} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ .

Ejemplo 1.2: Poblaciones desacopladas

Supongamos ahora dos especies de peces $u$ e $v$ que viven en tanques separados, sin interacción ecológica. Sus poblaciones evolucionan independientemente según:

{\begin{cases} \bar{u} = 3 u \\ \bar{v} = 2 v \end{cases}

con condición inicial $u_{0} = 5$ , $v_{0} = 2$ .

Desarrollo:

La matriz de transición del sistema es diagonal (las variables están desacopladas):

D = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

La población tras 20 años es $D^{20} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ . Como $D$ es diagonal, la potencia se calcula de forma trivial elevando cada elemento diagonal a la potencia 20:

D^{20} = (\begin{matrix} 3^{20} & 0 \\ 0 & 2^{20} \end{matrix})

La solución es inmediata:

X_{20} = (\begin{matrix} 3^{20} & 0 \\ 0 & 2^{20} \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot 3^{20} \\ 2 \cdot 2^{20} \end{matrix})

Observación. Para valores elevados de $n$ (como $n = 20$ ), calcular $A^{n}$ del Ejemplo 1.1 mediante multiplicaciones matriciales sucesivas directas resulta impracticable: su matriz está llena de interacciones cruzadas y cada variable se interfiere con la otra. En cambio, la matriz $D$ del Ejemplo 1.2 era diagonal — cada especie evolucionaba sola — y $D^{20}$ se obtuvo de un vistazo, elevando cada elemento diagonal a la potencia 20. La diferencia es brutal, y se reduce a una única propiedad: que la matriz sea diagonal. Este es el gran premio que buscamos: cambiar a un sistema de coordenadas (definido por los autovectores) en el que $A$ se vea diagonal, es decir, en el que las variables se comporten de forma independiente, desacopladas como las del Ejemplo 1.2.

La idea clave de la diagonalización. En lugar de analizar directamente las especies reales $x$ e $y$ , buscamos definir una "remezcla" de ellas: unos seres imaginarios $A$ y $B$ (combinaciones lineales fijas de $x$ e $y$ ) que tengan la propiedad de ser totalmente independientes entre sí.

Mientras que $x$ e $y$ están acoplados y se interfieren mutuamente, los seres imaginarios $A$ y $B$ se comportan de forma desacoplada.
La evolución temporal de $A$ y $B$ es independiente y sigue una simple escala exponencial multiplicada por sus respectivos autovalores ( $λ_{1}$ y $λ_{2}$ ).
Una vez calculada la evolución trivial de $A$ y $B$ tras $n$ años, desechamos el cambio para volver a las poblaciones reales $x$ e $y$ .

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2. Autovalores y Autovectores

2.1. Concepto y Ecuación Característica

Definición. Dada una matriz cuadrada $A \in R^{n \times n}$ , un escalar $λ \in R$ es un autovalor (o valor propio) de $A$ si existe un vector no nulo $v \neq 0$ tal que:

A \cdot v = λ \cdot v

Al vector $v$ se le denomina autovector (o vector propio) asociado a $λ$ .

Propiedad. Reescribiendo la ecuación previa como un sistema homogéneo $(A - λ I) v = 0$ , este admite soluciones no triviales si y solo si el determinante de la matriz del sistema es nulo:

| A - λ I | = 0

Esta expresión constituye la ecuación característica, cuyo polinomio asociado $p (λ) = | A - λ I |$ es el polinomio característico de $A$ . Sus raíces reales son los autovalores de la matriz.

2.2. Subespacios Propios y Cálculo de Autovectores

Definición. El conjunto formado por todos los autovectores asociados a un autovalor $λ$ , junto con el vector nulo $0$ , constituye un subespacio vectorial denominado espacio propio o subespacio asociado, denotado por $E (λ) = Ker (A - λ I)$ .

Método de cálculo de autovectores. Para cada autovalor $λ_{i}$ :

Sustituir $λ_{i}$ en el sistema homogéneo $(A - λ_{i} I) v = 0$ .
Resolver el sistema por el método de Gauss para obtener la relación entre las componentes del vector.
Asignar un parámetro libre para hallar la base del autovector $v_{i}$ .

Ejemplo 2.1: Cálculo de autovalores y autovectores

Calcular los autovalores y autovectores de la matriz de transición del sistema poblacional:

A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})

Desarrollo paso a paso:

Planteamos la ecuación característica $| A - λ I | = 0$ :

| \begin{matrix} 3 - λ & 1 \\ 2 & 2 - λ \end{matrix} | = 0

Desarrollamos el determinante de orden $2 \times 2$ :

(3 - λ) (2 - λ) - (1 \cdot 2) = 0 ⟹ 6 - 3 λ - 2 λ + λ^{2} - 2 = 0 ⟹ λ^{2} - 5 λ + 4 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general:

λ = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 (1) (4)}}{2 (1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Obtenemos dos autovalores reales y distintos:

λ_{1} = 4, λ_{2} = 1

Determinamos el autovector $v_{1} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ asociado a $λ_{1} = 4$ :
Sustituimos $λ = 4$ en $(A - 4 I) v = 0$ :

(\begin{matrix} 3 - 4 & 1 \\ 2 & 2 - 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) ⟹ (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Obtenemos la ecuación $- x + y = 0 ⟹ x = y$ . Tomando $x = 1$ :

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Determinamos el autovector $v_{2} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ asociado a $λ_{2} = 1$ :
Sustituimos $λ = 1$ en $(A - 1 I) v = 0$ :

(\begin{matrix} 3 - 1 & 1 \\ 2 & 2 - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) ⟹ (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Obtenemos la ecuación $2 x + y = 0 ⟹ y = - 2 x$ . Tomando $x = 1$ :

v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})

Solución: Los autovalores de la matriz son $λ_{1} = 4$ y $λ_{2} = 1$ , con autovectores asociados $v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ y $v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ .

3. Matriz de Paso y Diagonalización

3.1. Teorema de Diagonalización y Matriz de Paso

Definición. Una matriz cuadrada $A \in R^{n \times n}$ es diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ (matriz de paso) y una matriz diagonal $D$ tales que:

A = P \cdot D \cdot P^{- 1} o, equivalentemente, D = P^{- 1} \cdot A \cdot P

Propiedad. Una matriz $A$ de orden $n$ es diagonalizable si y solo si posee $n$ autovectores linealmente independientes. Si todos sus autovalores son reales y distintos, la matriz es directamente diagonalizable.

Algoritmo de diagonalización :

Formar la matriz diagonal $D$ situando los autovalores $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ en la diagonal principal:

D = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix})

Construir la matriz de paso $P$ disponiendo los autovectores asociados por columnas en el mismo orden:

P = (\begin{matrix} v_{1} & v_{2} \end{matrix})

Obtener la matriz inversa $P^{- 1}$ mediante el método de reducción de Gauss-Jordan sobre la matriz ampliada $(P ∣ I)$ .

Ejemplo 3.1: Obtención de las matrices

P

D

e inversa

P^{- 1}

Obtener la matriz diagonal $D$ , la matriz de paso $P$ y su inversa $P^{- 1}$ para la matriz $A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})$ .

Desarrollo paso a paso:

Formamos la matriz diagonal $D$ con los autovalores $λ_{1} = 4$ y $λ_{2} = 1$ :

D = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Formamos la matriz de paso $P$ alineando los autovectores $v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ y $v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ como columnas:

P = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

Calculamos la inversa $P^{- 1}$ aplicando Gauss-Jordan a la matriz ampliada $(P ∣ I)$ :

(\begin{matrix} 1 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & | & 0 & 1 \end{matrix})

Restamos la fila 1 a la fila 2 ( $F_{2} \leftarrow F_{2} - F_{1}$ ):

(\begin{matrix} 1 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & | & - 1 & 1 \end{matrix})

Dividimos la fila 2 por $- 3$ ( $F_{2} \leftarrow - \frac{1}{3} F_{2}$ ):

(\begin{matrix} 1 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{matrix})

Restamos la fila 2 a la fila 1 ( $F_{1} \leftarrow F_{1} - F_{2}$ ):

(\begin{matrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{matrix})

Extraemos la matriz inversa de la mitad derecha:

P^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{matrix}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

Solución: La matriz diagonal es $D = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , la matriz de paso es $P = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ y la matriz de paso inversa es $P^{- 1} = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ .

4. Aplicaciones del Cálculo Matricial y Resolución del Modelo

4.1. Potencias Matriciales por Diagonalización

Propiedad. Utilizando la relación de semejanza $A = P \cdot D \cdot P^{- 1}$ , la potencia $n$ -ésima de la matriz $A$ se simplifica a:

A^{n} = (P \cdot D \cdot P^{- 1})^{n} = P \cdot D^{n} \cdot P^{- 1}

donde la potencia de la matriz diagonal se calcula de forma directa elevando sus elementos diagonales a $n$ :

D^{n} = (\begin{matrix} λ_{1}^{n} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{n} \end{matrix})

Método de cálculo de $A^{n}$ .

Elevar los autovalores en la matriz diagonal a la potencia $n$ : $D^{n}$ .
Multiplicar $P$ por $D^{n}$ .
Multiplicar el resultado anterior por $P^{- 1}$ .

4.2. Solución Completa del Sistema Dinámico

Método. Para hallar el estado final de las poblaciones tras $n$ años, aplicamos la fórmula explícita $X_{n} = (P \cdot D^{n} \cdot P^{- 1}) \cdot X_{0}$ .

Ejemplo 4.1: Cálculo de

A^{20}

y resolución de la población tras 20 años

Calcular la potencia $A^{20}$ para la matriz $A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})$ y obtener el tamaño exacto de las poblaciones $x_{20}$ e $y_{20}$ transcurridos 20 años partiendo de $x_{0} = 5$ , $y_{0} = 2$ .

Desarrollo paso a paso:

Expresamos la potencia matricial $A^{20} = P \cdot D^{20} \cdot P^{- 1}$ :

A^{20} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4^{20} & 0 \\ 0 & 1^{20} \end{matrix}) \cdot \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

Calculamos primero el producto $P \cdot D^{20}$ (con $1^{20} = 1$ ):

P \cdot D^{20} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4^{20} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4^{20} & 1 \\ 4^{20} & - 2 \end{matrix})

Multiplicamos por la matriz inversa $P^{- 1}$ :

A^{20} = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 4^{20} & 1 \\ 4^{20} & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \cdot 4^{20} + 1 & 4^{20} - 1 \\ 2 \cdot 4^{20} - 2 & 4^{20} + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{2 \cdot 4^{20} + 1}{3} & \frac{4^{20} - 1}{3} \\ \frac{2 \cdot 4^{20} - 2}{3} & \frac{4^{20} + 2}{3} \end{matrix})

Multiplicamos la matriz de potencia $A^{20}$ por el vector poblacional inicial $X_{0} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ :

X_{20} = A^{20} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{2 \cdot 4^{20} + 1}{3} & \frac{4^{20} - 1}{3} \\ \frac{2 \cdot 4^{20} - 2}{3} & \frac{4^{20} + 2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

Evaluamos cada componente de $X_{20} = (\begin{matrix} x_{20} \\ y_{20} \end{matrix})$ :

x_{20} = 5 \cdot (\frac{2 \cdot 4^{20} + 1}{3}) + 2 \cdot (\frac{4^{20} - 1}{3}) = \frac{10 \cdot 4^{20} + 5 + 2 \cdot 4^{20} - 2}{3} = \frac{12 \cdot 4^{20} + 3}{3} = 4 \cdot 4^{20} + 1 = 4^{21} + 1

y_{20} = 5 \cdot (\frac{2 \cdot 4^{20} - 2}{3}) + 2 \cdot (\frac{4^{20} + 2}{3}) = \frac{10 \cdot 4^{20} - 10 + 2 \cdot 4^{20} + 4}{3} = \frac{12 \cdot 4^{20} - 6}{3} = 4 \cdot 4^{20} - 2 = 4^{21} - 2

Solución: La matriz elevada a la potencia 20 es $A^{20} = (\begin{matrix} \frac{2 \cdot 4^{20} + 1}{3} & \frac{4^{20} - 1}{3} \\ \frac{2 \cdot 4^{20} - 2}{3} & \frac{4^{20} + 2}{3} \end{matrix})$ y el tamaño final de las poblaciones tras 20 años es $x_{20} = 4^{21} + 1$ e $y_{20} = 4^{21} - 2$ .