Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes. Si son dependientes, obtén además una base del subespacio que generan:

(a) $\{(1,2),(0,-5),(2,3)\}$

(b) $\{(1,1,3,0),(0,0,4,3),(1,0,0,-1)\}$

(c) $\{(0,2,3,-4,1),(0,0,2,3,4),(2,2,-5,2,4),(2,0,-6,9,7)\}$

(d) $\{(1,1,-4),(2,1,0),(-1,0,4)\}$

(e) $\{(1,0,1),(0,0,0),(1,2,3)\}$

(f) $\{(1,0,1),(2,3,-1),(1,0,1)\}$

(g) $\{(1,0,1),(2,3,-1)\}$

(h) $\{(1,0,1),(1,2,-1),(1,1,-1)\}$

(i) $\{(1,0,1),(4,4,-1),(-1,0,-1)\}$

En los siguientes apartados nos proporcionan uno de los tres datos siguientes de un subespacio: ecuaciones implícitas, ecuaciones paramétricas o una base. Calcula los dos datos restantes:

(a) (en ${\mathbb{R}}^2$) Ecuaciones paramétricas: $\{\begin{array}{l}x=t-s\\ y=t+s\end{array}$

(b) (en ${\mathbb{R}}^3$) Ecuaciones implícitas: $\{\begin{array}{l}x=0\\ x+y-2z=0\end{array}$

(c) (en ${\mathbb{R}}^3$) Ecuaciones paramétricas: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\\ z=t+s\end{array}$

(d) (en ${\mathbb{R}}^3$) Base: $\{(1,1,1),(1,2,1),(0,0,3)\}$

(e) (en ${\mathbb{R}}^3$) Ecuaciones implícitas: $\{\begin{array}{l}x+2z=0\\ z-x=0\end{array}$

(f) (en ${\mathbb{R}}^3$) Ecuaciones implícitas:

(g) (en ${\mathbb{R}}^3$) Ecuaciones paramétricas: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3t\\ z=-t\end{array}$

(h) (en ${\mathbb{R}}^3$) Base: $\{(1,0,0),(0,1,1)\}$

(i) (en ${\mathbb{R}}^4$) Base: $\{(1,2,1,0),(0,2,1,2)\}$

En todos los apartados del Ejercicio 2, indica la dimensión del subespacio.

Determina si el vector $v=(2,5,1)$ es combinación lineal de

En caso afirmativo, calcula los coeficientes y decide si la expresión es única.

Considera los vectores de ${\mathbb{R}}^4$:

Calcula el rango del conjunto y extrae una base del subespacio que generan.

En ${\mathbb{R}}^4$, determina una base, unas ecuaciones paramétricas y la dimensión del subespacio definido por

(a) Linealmente dependientes. Una base del subespacio generado es $\{(1,2),(0,-5)\}$.

(b) Linealmente independientes.

(c) Linealmente dependientes. Una base del subespacio generado es $\{(0,2,3,-4,1),(0,0,2,3,4),(2,2,-5,2,4)\}$.

(d) Linealmente independientes.

(e) Linealmente dependientes. Una base del subespacio generado es $\{(1,0,1),(0,2,2)\}$.

(f) Linealmente dependientes. Una base del subespacio generado es $\{(1,0,1),(0,3,-3)\}$.

(g) Linealmente independientes.

(h) Linealmente independientes.

(i) Linealmente dependientes. Una base del subespacio generado es $\{(1,0,1),(0,4,-5)\}$.

(a) Base: $\{(1,1),(-1,1)\}$. No tiene ecuaciones implícitas.
(b) Ecuaciones paramétricas: $(x,y,z)=t(0,2,1)$. Base: $\{(0,2,1)\}$.
(c) Base: $\{(1,-1,1),(0,0,1)\}$. Ecuaciones implícitas: $x+y=0$.
(d) No tiene ecuaciones implícitas. Ecuaciones paramétricas: $(x,y,z)=t(1,1,1)+s(1,2,1)+r(0,0,3)$.
(e) Ecuaciones paramétricas: $(x,y,z)=t(0,1,0)$. Base: $\{(0,1,0)\}$.
(f) Ecuaciones paramétricas: $(x,y,z)=t(-1,-1,1)$. Base: $\{(-1,-1,1)\}$.
(g) Base: $\{(1,3,-1)\}$. Ecuaciones implícitas: $\{\begin{array}{l}3x-y=0\\ x+z=0\end{array}$.
(h) Ecuaciones implícitas: $y-z=0$. Ecuaciones paramétricas: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=s\\ z=s\end{array}$.
(i) Ecuaciones implícitas: $\{\begin{array}{l}{x}_4-2x_3+2x_1=0\\ 2x_3-x_2=0\end{array}$.

• (a) Dimensión: $2$.
• (b) Dimensión: $1$.
• (c) Dimensión: $2$.
• (d) Dimensión: $3$.
• (e) Dimensión: $1$.
• (f) Dimensión: $1$
• (g) Dimensión: $1$
• (h) Dimensión: $2$
• (i) Dimensión: $2$

Planteamos $v=a{u}_1+b{u}_2+c{u}_3$. El sistema resultante es

Se obtiene $a=2$, $b=1$ y $c=0$. Por tanto,

Los tres vectores son linealmente independientes, por lo que los coeficientes obtenidos son únicos.

Se verifica que $v_3=v_1+v_2$ y $v_4=2v_1-v_2$. Por tanto, el conjunto tiene rango $2$ y una base del subespacio generado es

Tomando $z=s$ y $w=t$, las ecuaciones dan $x=-s$ e $y=-t$. Así,

Una base es

unas ecuaciones paramétricas son

y la dimensión es $2$.