Tema 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de ecuaciones lineales que deben ser resueltas de manera simultánea.

1.1. Clasificación de Sistemas de Ecuaciones

Criterio de clasificación. La discusión y clasificación de sistemas es uno de los apartados fundamentales del álgebra lineal. Según el número de soluciones que poseen, los sistemas se clasifican en:

Incompatible (S.I.): No existe ningún valor de las incógnitas que cumpla todas las ecuaciones simultáneamente (sin solución).
Compatible Determinado (S.C.D.): Existe un único valor para cada incógnita que satisface el sistema (solución única).
Compatible Indeterminado (S.C.I.): Existen infinitos valores de las incógnitas que satisfacen el sistema (infinitas soluciones).

Interpretación geométrica:
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1.2. Ejemplos en dimensión 2

Ejemplo 1.1: Sistema Compatible Determinado (

2 \times 2

)

Resolver el siguiente sistema:

{\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}

Solución:
Sumando ambas ecuaciones directamente:

2 x = 14 ⟹ x = 7

Sustituyendo el valor de $x$ en la primera ecuación:

7 + y = 10 ⟹ y = 3

Conclusión: El sistema es Compatible Determinado (S.C.D.) con solución única $(x, y) = (7, 3)$ .

Ejemplo 1.2: Sistema Compatible Indeterminado con Parámetro Libre

Resolver el siguiente sistema:

{\begin{cases} 2 x + 4 y + z = 6 \\ 2 x + 2 y = 1 \end{cases}

Solución:
Como tenemos 3 incógnitas y 2 ecuaciones, asignamos un parámetro libre a una de las variables. Sea $z = t$ con $t \in R$ :

{\begin{cases} 2 x + 4 y = 6 - t \\ 2 x + 2 y = 1 \end{cases}

Restando la segunda ecuación a la primera:

2 y = 5 - t ⟹ y = \frac{5 - t}{2}

Sustituyendo $y$ en la segunda ecuación:

2 x = 1 - 2 (\frac{5 - t}{2}) = 1 - 5 + t = - 4 + t ⟹ x = - 2 + \frac{t}{2}

Conclusión: El sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I.) con soluciones parametrizadas por $t \in R$ :

(x, y, z) = (- 2 + \frac{t}{2}, \frac{5 - t}{2}, t), t \in R

1.3. Sistemas con Parámetros

Método de análisis. Para discutir un sistema con parámetros, se analiza la existencia y unicidad de las soluciones en función de los valores que tome el parámetro genérico (habitualmente $a, λ, k, \dots$ ).

Ejemplo 1.3: Discusión Completa según el Parámetro

a

Discutir y resolver el sistema:

{\begin{cases} x - a y = - 2 \\ a x - y = 2 \end{cases}

Desarrollo algebraico:
Despejando $x$ de la primera ecuación ( $x = a y - 2$ ) y sustituyendo en la segunda:

a (a y - 2) - y = 2 ⟹ a^{2} y - y - 2 a = 2 ⟹ (1 - a^{2}) x = - 2 - 2 a

Despejando las variables cuando $1 - a^{2} \neq 0$ (es decir, $a \neq 1$ y $a \neq - 1$ ):

x = \frac{- 2 - 2 a}{1 - a^{2}} = \frac{- 2 (1 + a)}{(1 - a) (1 + a)} = \frac{- 2}{1 - a} = \frac{2}{a - 1}

y = \frac{- 2 a - 2}{1 - a^{2}} = \frac{- 2 (a + 1)}{(1 - a) (1 + a)} = \frac{- 2}{1 - a} = \frac{2}{a - 1}

Discusión según los casos del parámetro $a$ :

Si $a \neq 1$ y $a \neq - 1$ : El sistema es Compatible Determinado (S.C.D.). Solución única: $(\frac{2}{a - 1}, \frac{2}{a - 1})$ .
Si $a = 1$ : Sustituyendo $a = 1$ en el sistema original: ${\begin{cases} x - y = - 2 \\ x - y = 2 \end{cases} ⟹ - 2 = 2 (Imposible)$ El sistema es Incompatible (S.I.).
Si $a = - 1$ : Sustituyendo $a = - 1$ en el sistema original: ${\begin{cases} x + y = - 2 \\ - x - y = 2 \end{cases} ⟹ x + y = - 2 (Ecuaciones equivalentes)$ El sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I.). Soluciones: $y = t$ , $x = - 2 - t$ con $t \in R$ .

Ejemplo 1.4: Discusión de un Sistema Lineal Paramétrico

Discutir el sistema:

{\begin{cases} x + y = 20 \\ (1 + a) x + y = 22 \end{cases}

Solución:
Restando la primera ecuación a la segunda:

((1 + a) x + y) - (x + y) = 22 - 20 ⟹ a x = 2

Discusión:

Si $a \neq 0$ : El sistema es Compatible Determinado (S.C.D.). $x = \frac{2}{a}, y = 20 - \frac{2}{a}$
Si $a = 0$ : Sustituyendo $a = 0$ : ${\begin{cases} x + y = 20 \\ x + y = 22 \end{cases} ⟹ No es posible (20 \neq 22)$ El sistema es Incompatible (S.I.).

1.4 ¿Y para dimensiones más altas?

Interpretación geométrica:

Para resolver analíticamente estos sistemas, veremos primero el concepto de matriz.

2. Matrices

Concepto de matriz. Las matrices son estructuraciones en forma de "cajas de números" que poseen gran utilidad en matemáticas. Poseen la propiedad particular de comportarse algebraicamente de manera análoga a los números simples.

       ┌               ┐
       │  a11 a12 a13  │
   A = │  a21 a22 a23  │
       │  a31 a32 a33  │
       └               ┘

Las matrices se pueden sumar, restar y multiplicar, dando lugar a un álgebra análoga a la de los números. Entre estas operaciones destaca también la matriz inversa.

Suma y Resta: operaciones que se realizan elemento a elemento (requieren matrices de la misma dimensión).
Producto de Matrices: se calcula multiplicando cada fila por cada columna.

Ejemplo 2.3: Producto de Matrices

2 \times 2

$(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 (- 1) + 3 (1) & 2 (2) + 3 (4) \\ 1 (- 1) + 5 (1) & 1 (2) + 5 (4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 16 \\ 4 & 22 \end{matrix})$

La matriz inversa. Dada una matriz cuadrada $A$ , su matriz inversa $A^{- 1}$ verifica la relación:

A^{- 1} \cdot A = I o bien A \cdot A^{- 1} = I

donde $I$ representa la matriz identidad. La forma práctica de calcularla se estudia en el apartado 2.4 mediante el método de Gauss-Jordan.

2.1. Aplicaciones

Las matrices permiten expresar de forma compacta grandes cantidades de información. Dos aplicaciones fundamentales son la representación de sistemas de ecuaciones lineales y el modelado de sistemas dinámicos.

Ejemplo 2.1: Representación Matricial de un Sistema Lineal

Un sistema de ecuaciones lineales se escribe de forma compacta como $A \cdot X = B$ . Por ejemplo, el sistema del Ejemplo 1.1:

{\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} ⟺ \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{X}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}} = \underset{B}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})}}

donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ el vector de incógnitas y $B$ el vector de términos independientes.

Ejemplo 2.2: Sistema Dinámico: Evolución de una Población de Peces

Consideremos dos especies de peces, $x$ e $y$ , que conviven en un mismo ecosistema. Si las cantidades al inicio de un año son $x_{A}$ e $y_{A}$ (cantidades actuales), al año siguiente pasan a ser:

{\begin{cases} x_{N} = 3 x_{A} + 2 y_{A} \\ y_{N} = - 4 x_{A} + 4 y_{A} \end{cases}

Interpretación de los coeficientes:

3: la especie $x$ se reproduce, triplicando su propio número en un año.
2: la especie $x$ crece alimentándose de la especie $y$ .
$- 4$ : la especie $y$ disminuye por ser depredada por la especie $x$ .
4: la especie $y$ se reproduce, cuadruplicando su propio número en un año.
Las dos ecuaciones anteriores se escriben de forma compacta como $$X_N = A \cdot X_A,$$ donde $X_{A}$ es el vector de cantidades actuales, $X_{N}$ el vector de cantidades nuevas y la matriz de evolución $A$ concentra la dinámica del ecosistema:

X_{N} = (\begin{matrix} x_{N} \\ y_{N} \end{matrix}), X_{A} = (\begin{matrix} x_{A} \\ y_{A} \end{matrix}), A = (\begin{matrix} 3 & 2 \\ - 4 & 4 \end{matrix})

Iterando la expresión $X_{t + 1} = A \cdot X_{t}$ se pueden simular las poblaciones año tras año, lo que permite predecir su evolución a largo plazo.

2.2. Tipos de Matrices

Matriz fila y matriz columna. La matriz fila tiene una sola fila y la matriz columna una sola columna:

F = (\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}), C = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

Matriz cuadrada y matriz triangular. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Entre ellas destacan las triangulares, con todos los ceros por debajo (superior $S$ ) o por encima (inferior $T$ ) de la diagonal principal:

S = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}), T = (\begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

Matriz diagonal. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos nulos:

D = (\begin{matrix} x_{1} & 0 & 0 & \dots \\ 0 & x_{2} & 0 & \dots \\ 0 & 0 & x_{3} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})

Matriz identidad. La matriz identidad $I$ es la matriz diagonal con unos en la diagonal principal. Actúa como elemento neutro del producto de matrices y juega un papel clave en el cálculo de inversas.

2.4. Método de Gauss

Una de las principales funciones prácticas de las matrices es el estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales empleando la matriz ampliada y transformaciones elementales por filas. La misma técnica, en su variante de Gauss-Jordan, permite calcular la matriz inversa.

Operaciones elementales por filas. El método de Gauss se apoya en tres tipos de operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada, todas ellas reversibles y que no alteran las soluciones del sistema:

Permutar dos filas: $F_{i} \leftrightarrow F_{j}$ (equivale a reordenar las ecuaciones).
Multiplicar una fila por un número no nulo: $F_{i} \leftarrow k \cdot F_{i}$ .
Combinar filas: sumar a una fila un múltiplo de otra: $F_{i} \leftarrow F_{i} + k \cdot F_{j}$ (equivale a sumar ecuaciones entre sí).

Tres versiones del método de Gauss. Según la forma final que se le dé a la matriz, distinguimos tres versiones:

Gauss clásico (matriz triangular): se anulan los elementos por debajo de la diagonal, de modo que esta queda con elementos no nulos pero arbitrarios. El sistema se resuelve entonces por sustitución regresiva.
Gauss con diagonal de unos: tras triangular, se normaliza cada fila dividiéndola entre su pivote, con lo que todos los elementos de la diagonal son $1$ . La sustitución regresiva se simplifica, pues cada variable se despeja directamente de su propia fila.
Gauss-Jordan: además de los ceros por debajo, se anulan también los elementos por encima de la diagonal, hasta convertir la parte de los coeficientes en la matriz identidad. La solución queda directamente en la última columna, sin sustitución regresiva. Esta es la variante usada para el cálculo de inversas.

Cambio de columnas (caso particular). En ocasiones el elemento de la diagonal es cero y también lo son todos los que tiene por debajo en esa columna; entonces permutar filas no sirve y hay que intercambiar la columna con la de alguna de las variables siguientes. Como cada columna de coeficientes corresponde a una variable, al permutar columnas las variables cambian de lugar, por lo que hay que seguir la pista al cambio de nombre de las variables para no equivocarse al leer la solución final.

Algoritmo de eliminación gaussiana:

Escribir la matriz ampliada del sistema $(A | B)$ .
Obtener ceros por debajo de la diagonal principal mediante operaciones elementales por filas.
Reconstruir el sistema equivalente triangular y resolver por sustitución regresiva.

Ejemplo 2.4: Resolución Completa de un Sistema

3 \times 3

por Gauss

Resolver el sistema mediante su matriz ampliada:

{\begin{cases} 2 x + 3 y - z = 5 \\ x - y + 2 z = 0 \\ 5 x + 2 y - z = 7 \end{cases}

Paso 1: Matriz ampliada inicial

(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & - 1 & 5 \\ 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 5 & 2 & - 1 & 7 \end{array})

Paso 2: Intercambio de filas ( $F_{1} \leftrightarrow F_{2}$ ) para facilitar el pivote igual a 1

\sim (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & - 1 & 5 \\ 5 & 2 & - 1 & 7 \end{array})

Paso 3: Ceros en la primera columna ( $F_{2} \leftarrow F_{2} - 2 F_{1}$ , $F_{3} \leftarrow F_{3} - 5 F_{1}$ )

\sim (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 5 \\ 0 & 7 & - 11 & 7 \end{array})

Paso 4: Normalizar la fila 2 ( $F_{2} \leftarrow \frac{1}{5} F_{2}$ )

\sim (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 7 & - 11 & 7 \end{array})

Paso 5: Cero en la segunda columna ( $F_{3} \leftarrow F_{3} - 7 F_{2}$ )

\sim (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \end{array})

Paso 6: Normalizar la fila 3 ( $F_{3} \leftarrow - \frac{1}{4} F_{3}$ )

\sim (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array})

Paso 7: Reconstrucción del sistema y solución

{\begin{cases} x - y + 2 z = 0 \\ y - z = 1 \\ z = 0 \end{cases}

Resolviendo desde la última ecuación hacia arriba:
4. $z = 0$
5. $y - 0 = 1 ⟹ y = 1$
6. $x - 1 + 2 (0) = 0 ⟹ x = 1$

Solución: $(x, y, z) = (1, 1, 0)$ .

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa. Se construye la matriz en bloques $(A ∣ I)$ y se aplican operaciones elementales por filas hasta transformarla en $(I ∣ A^{- 1})$ .

Ejemplo 2.5: Cálculo de la Inversa por Gauss-Jordan

Dada la matriz $A$ :

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix})

Disposición en bloques $(A ∣ I)$ :

(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array})

Reducción de Gauss-Jordan:

Hacer cero en la tercera fila ( $F_{3} \leftarrow F_{3} - 2 F_{1}$ ): $(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array})$
Triangular la matriz ( $F_{3} \leftarrow F_{3} + 3 F_{2}$ ): $(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{array})$
Hacer ceros por encima de la diagonal ( $F_{2} \leftarrow F_{2} + 2 F_{3}$ ): $(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{array})$
Eliminar el último elemento ( $F_{1} \leftarrow F_{1} - 2 F_{2}$ ): $(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & - 3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{array})$

Matriz Inversa Resultante:

A^{- 1} = (\begin{matrix} - 3 & 2 & 4 \\ 2 & - 1 & - 2 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})