Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales e indica de qué tipo son según el número de soluciones (Sistema Compatible Determinado, Sistema Compatible Indeterminado o Sistema Incompatible):

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

En las siguientes matrices, indica para qué valores del parámetro $t$ son invertibles:

(a) $A=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 1& 1\end{array}\right)$

(b) $B=\left(\begin{array}{cc}2& t\\ t& 8\end{array}\right)$

(c) $C=\left(\begin{array}{cc}t& 2\\ t& 0\end{array}\right)$

(d) $D=\left(\begin{array}{ccc}t& 1& -1\\ 1& t& -1\\ 1& -1& t\end{array}\right)$

(e) $E=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 2& t& 2\\ 2& 2& t\end{array}\right)$

(f) $F=\left(\begin{array}{ccc}t& 2& 3\\ 3& t& 2\\ 2& 3& t\end{array}\right)$

Dando a $t$ el valor $1$, calcula las inversas de las matrices del Ejercicio 2 (en los casos en que sean invertibles para ese valor de $t$).

Comprueba los resultados del Ejercicio 3 multiplicando cada matriz por su correspondiente inversa (\(A \cdot A^{-1} = I\)).

Resuelve mediante el método de Gauss el sistema:

Escribe la matriz ampliada, escalónala y clasifica el sistema.

Sean

Comprueba que los productos están definidos y calcula $AB$ y $BA$.

Calcula mediante Gauss-Jordan la inversa de

Comprueba el resultado calculando $A{A}^{-1}$.

(a)

• Si $a=0$: Sistema Incompatible (S.I.).
• Si $a\ne 0$: Sistema Compatible Determinado (S.C.D.). Solución: $(x,y)=(\frac{5}{a},-2)$.

(b)

• Si $a=0$: Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.) con 1 parámetro. Solución: $(x,y)=(3,0)+t(0,1)$ con $t\in \mathbb{R}$.
• Si $a\ne 0$: Sistema Compatible Determinado (S.C.D.). Solución: $(x,y)=(3,0)$.

(c)

• Sistema Compatible Determinado (S.C.D.) para cualesquiera valores de $a,b,c$. Solución: $(x,y,z)=(2a-b,-2a+3b-c,a-2b+c)$.

(d)

• Si $a=-1$: Sistema Incompatible (S.I.).
• Si $a=1$: Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.) con 1 parámetro. Solución: $(x,y)=(2,0)+t(-1,1)$ con $t\in \mathbb{R}$.
• Si $a\ne -1$ y $a\ne 1$: Sistema Compatible Determinado (S.C.D.). Solución: $(x,y)=(\frac{2}{a+1},\frac{2}{a+1})$.

(e)

• Si $a=1$: Sistema Incompatible (S.I.).
• Si $a\ne 1$: Sistema Compatible Determinado (S.C.D.). Solución: $(x,y,z)=(1,\frac{a^2-2a}{1-a},\frac{1}{1-a})$.

(f)

• Si $a=0$: Sistema Incompatible (S.I.).
• Si $a=2$: Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.) con 1 parámetro. Solución: $(x,y,z)=(0,2,0)+t(0,-1,1)$ con $t\in \mathbb{R}$.
• Si $a\ne 0$ y $a\ne 2$: Sistema Compatible Determinado (S.C.D.). Solución: $(x,y,z)=(\frac{2-a}{a},-2,\frac{a^2+3a-2}{a})$.

Los valores de $t$ para los cuales cada matriz es invertible son:

• (a) Invertible para $t\ne 1$.
• (b) Invertible para $t\ne -4$ y $t\ne 4$.
• (c) Invertible para $t\ne 0$.
• (d) Invertible para $t\ne -1$, $t\ne 0$ y $t\ne 1$.
• (e) Invertible para $t\ne 2$.
• (f) Invertible para $t\ne -5$.

Evaluando en $t=1$:

• (a) Para $t=1$, la matriz no tiene inversa (puesto que solo es invertible para $t\ne 1$).
• (b) Para $t=1$, la inversa es:$$B^{-1}=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{cc}8& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$$
• (c) Para $t=1$, la inversa es:$$C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1/2& -1/2\end{array}\right)$$
• (d) Para $t=1$, la matriz no tiene inversa (puesto que solo es invertible para $t\ne -1,0,1$).
• (e) Para $t=1$, la inversa es:$$E^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 2& -1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$$
• (f) Para $t=1$, la inversa es:$$F^{-1}=\frac{1}{18}\left(\begin{array}{ccc}-5& 7& 1\\ 1& -5& 7\\ 7& 1& -5\end{array}\right)$$

La matriz ampliada es

Su forma escalonada reducida es

Por tanto, el sistema es Compatible Determinado (S.C.D.) y su solución es $(x,y,z)=(1,2,3)$.

$A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$, por lo que $AB$ y $BA$ están definidos:

Aplicando Gauss-Jordan a $(A\mid I)$ se obtiene

La comprobación da