Exámenes anteriores

Examen de Cálculo (2023)

Asignatura: Cálculo. Grado en Ingeniería Náutica y Transporte Marítimo.

1. Límites:

   Hallar los siguientes límites:

   • $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{4n^2-3n}-2n$

   • $\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{2-2\cos (x)}{x^2}\right)}^{\frac{8}{x^2}}$

2. Derivabilidad:

   Estudiar la derivabilidad de la función según los valores de $a$:

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{x+1}& x<a\\ \frac{11-2x-x^2}{4}& a\le x\end{array}$$

3. Estudio de función:

   Estudiar la función $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ (dominio, puntos de corte, asíntotas, monotonía y extremos) y esbozar la gráfica.

4. Cálculo de áreas:

   Hallar el área encerrada entre la función $y=\frac{27(x-1)}{x^3}$ y la recta $y=x-1$.

5. Series:

   Hallar el intervalo de convergencia de la serie enunciando el criterio utilizado.

6. Cálculo de superficies:

   Sea la superficie $z=x\cosh |y|e^{\arctan (x)}$; calcula la ecuación del plano tangente y la recta normal a la función en el punto sobre $(1,0)$.

7. Extremos relativos:

   Estudiar extremos relativos de $f(x,y)=2x^4+3y^4-4x^2{y}^3$.

8. Multiplicadores de Lagrange:

   Estudiar los máximos y mínimos relativos de $f(x,y)=xy$ con la condición de que $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ mediante el método de multiplicadores de Lagrange.

9. Volumen:

   Calcular el volumen encerrado entre las funciones $z=0$ y $z=\cos \sqrt{x^2+y^2}$ que está alrededor del eje $z$ (primera semionda del coseno; recuerda: $\cos \alpha =0\leftrightarrow \alpha =\pi /2$).

Primera Prueba de Progreso de Cálculo (28 de noviembre de 2013)

Asignatura: Primera prueba de progreso de Cálculo. Grado en Ingeniería Náutica y Transporte Marítimo.

Fecha: 28 de noviembre de 2013.

1. Números Complejos:

   Calcula en la forma indicada:

   • a) En forma binomial: $\frac{(3-2i)(2+3i)}{3-4i}$

   • b) Pasando los factores a polares y en forma polar: $(-\sqrt{3}+i)(-1-i)$

2. Límites:

   Hallar los siguientes límites:

   • a) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x^2+3}{3x}-\frac{4x+3}{2})$

   • b) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{\sqrt{x^2-2}-x}{2}\right)$

3. Continuidad:

   Estudiar la continuidad de:

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x-1}& x<2\\ 2x-3& 2\le x\end{array}$$

4. Derivadas:

   Derivar:

   • a) $\frac{2x^4}{(x^2-\cos (x){)}^3}$

   • b) $e^{\sqrt{x^3-1}}\cdot \arctan (e^{x-2})$

5. Estudio de función:

   Hallar el dominio y los extremos relativos de $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}$.

6. Recta tangente:

   Hallar la recta tangente a $y=x\ln (x)$ en el punto de abscisa $e$.

7. Integrales:

   Hallar (solo una de ellas):

   • a) [Falta el enunciado completo, posiblemente integral indefinida]

   • b) $\int \frac{3+{\ln }^3(x)}{x}dx$

Primera Prueba de Progreso de Cálculo (Curso 2016-2017)

Asignatura: Primera prueba de progreso de Cálculo. Grado en Ingeniería Náutica y Transporte Marítimo.

1. Números Complejos:

   Calcula en la forma indicada:

   • En forma binomial: $\frac{-3-2i(2-3i)}{3+4i}$ (Interpretación probable del texto corrupto).

   • Y en forma polar: $(5-12i)(-6i)$ (Interpretación probable).

2. Límites:

   Hallar los siguientes límites:

   • $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cosh (x)+b\sinh (x)}{x^3}$ sabiendo que es finito.

   • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x^2+2x-x{)}^x$ (Nota: posible errata en el original, comúnmente $\sqrt{x^2+2x}-x$).

3. Continuidad y Derivabilidad:

   Estudiar la continuidad y derivabilidad de:

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x+4}& x<a\\ -x-6& a\le x\end{array}$$

4. Estudio de función:

   Hallar el dominio, asíntotas y los extremos relativos de $f(x)=\frac{x^2+1}{2x}$. Esboza la gráfica (usar definición para asíntotas oblicuas).

5. Polinomio de Taylor:

   Hallar los dos primeros términos del polinomio de Taylor de la función $\sin (\ln (x)+1)$ (o similar, texto original ambiguo sobre el argumento) alrededor del punto de abscisa que se indique (el texto menciona $x=0$, pero $\ln (0)$ no existe; podría ser $\ln (x+1)$).

6. Integrales:

   • Hallar $\int \frac{x^2+5}{x^3-3x+2}dx$

   • Hallar el área debajo de la función $y=e^{-3x}\cos (x)$ entre los puntos de abscisa $-\pi /2$ y $\pi /2$.

7. Series:

   Estudiar la convergencia de las series usando diferente criterio y enunciando cada criterio (solo dos de ellas):

   • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^n}{n!}$

   • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n^4+1}$

   • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{10\cdot 3^{(n+2)}+2}{5^n}$

   Hallar el intervalo de convergencia de: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3(n+2)+2}{5^n}{x}^n$

Exámenes de Septiembre de 2013

Primera prueba de progreso (2 de Septiembre de 2013)

1. Continuidad:

   Estudia la continuidad de la siguiente función, indicando los tipos de discontinuidades:

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{1/x}& \text{si }x<0\\ \frac{x}{x^2-1}& \text{si }0\le x<1\\ 0& \text{si }x>1\end{array}$$

2. Integral:

   Calcula la siguiente integral: $\int e^x\sin (3x)dx$

3. Límite:

   Calcula el siguiente límite: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n^2+\sqrt[3]{n^2+n+1}}{n^2-5}\right)}^n$

4. Derivada:

   Calcula la derivada de la función: $f(x)=x^{2x}$

5. Series:

   Estudia el carácter de la siguiente serie: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3+\sqrt{n^3+n+1}}{n^2+\sqrt{n^5+1}}$

Segunda prueba de progreso (2 de Septiembre de 2013)

1. Extremos multivariable:

   Calcula los máximos y mínimos relativos y los puntos de silla (si los hay):

   • a) $f(x,y)=xy(3-x-y)$

   • b) $f(x,y)=(x+y)(xy+1)$

2. Integrales dobles:

   Calcula las siguientes integrales:

   • a) ${\int }_0^1{\int }_0^x{e}^{-x^2}dydx$

   • b) ${\int }_{-1}^1{\int }_0^{\arctan (x)}\frac{x^3+1}{{\cos }^2(y)}dydx$

3. Derivadas parciales:

   Dada $f(x,y)=xy+x{e}^{y/x}$, calcula $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$.

4. Demostración:

   Demostrar que $y^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}-x^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0$, si $z=xy-\frac{x}{y}\sqrt{xy}$.

Examen de Cálculo (Febrero de 2022)

Nota: Este examen parece compartir varios ejercicios con el "Examen 2023.pdf".

1. Límites:

   Hallar los siguientes límites (contenido en imágenes no extraído textualmente).

2. Derivabilidad:

   Estudiar la derivabilidad de $f(x)=\{\begin{array}{ll}4x+1& x<a\\ \frac{11-2x-x^2}{4}& a\le x\end{array}$ según valores de $a$.

3. Estudio de función:

   Estudiar la función $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ y esbozar la gráfica (dominio, puntos de corte, asíntotas, monotonía y extremos).

4. Área:

   Hallar el área encerrada entre la función $y=\frac{27(x-1)}{x^3}$ y la recta $y=x-1$.

5. Series:

   Hallar el intervalo de convergencia de la serie enunciando el criterio utilizado.

6. Superficies y plano tangente:

   Sea la superficie $z=x\cosh (y)e^{\arctan (x)}$; calcula la ecuación del plano tangente y la recta normal a la función en el punto sobre $(1,0)$.

7. Extremos relativos:

   Estudiar extremos relativos de $f(x,y)=2x^4+3y^4-4x^2{y}^3$.

8. Multiplicadores de Lagrange:

   Estudiar los máximos y mínimos relativos de $f(x,y)=xy$ con la condición de que $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$.

9. Volumen:

   Calcular el volumen encerrado entre las funciones $z=0$ y $z=\cos \sqrt{x^2+y^2}$ alrededor del eje z (primera semionda).

Segunda Prueba de Progreso de Cálculo (21 de enero de 2016)

Asignatura: Segunda prueba de progreso de Cálculo.

Fecha: 21 de enero de 2016.

1. Derivadas parciales:

   Calcula las derivadas parciales de primer orden de:

   • $e^x\arctan (y)\cos (xy)$

   • $x\ln (y{)}^{3xy}$ (o expresión similar según interpretación).

2. Plano tangente:

   Sea $z=xy+e^{x+y}$; calcula la ecuación del plano tangente a la función en el punto $(a,b)=(2,1)$ y la máxima pendiente de la función en dicho punto.

3. Extremos relativos:

   Estudiar los máximos y mínimos relativos de la función $f(x,y)=xy(4-x-y)$.

4. Multiplicadores de Lagrange:

   Estudiar los máximos y mínimos relativos de la función $f(x,y)=4x^2+9y^2-x^2{y}^2$ con la condición de que $x^2+y^2=4$.

5. Volumen:

   Calcular el volumen encerrado entre las funciones (de la $z$ solo se considera la semionda que está sobre el origen).