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Tema 5: Cálculo Integral de Varias Variables. Ejercicios.

1. Integrales Dobles

Definición y Cálculo General

Ejercicio 1
Dibuja la región de integración y calcula ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}f$ en los siguientes casos:
1. $f(x,y)=x\sin y-y{e}^x$ en $\mathrm{\Omega }=[-1,1]\times [0,\pi /2]$.
2. $f(x,y)=x^2-y$ en $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [-1,1],-x^2\le y\le x^2\}$.
3. $f(x,y)=xy-x^3$ en $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [0,1],-1\le y\le x\}$.
4. $f(x,y)=2x\sin (x^{2}y)$ en $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [0,2],|y|\le x\}$.
5. $f(x,y)=y\sin x$ en $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:|x|+|y|\le 1\}$.

Teorema de Fubini

Ejercicio 2
Sobre el recinto $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+(y-1{)}^2\le 1,x\ge 0\}$ se consideran las funciones:

Aplica el teorema de Fubini a ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}f$ y ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}g$ en las dos ordenaciones posibles. Calcula las integrales en el orden más adecuado.

Cambio de Orden de Integración

Ejercicio 3
Determina el recinto de integración y cambia el orden de integración en las siguientes integrales:
1. ${\displaystyle {\int }_0^3{\int }_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}f(x,y)dydx}$
2. ${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{y}f(x,y)dxdy}$
3. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\int }_{-\sin (x/2)}^{\sin (x/2)}f(x,y)dydx}$
4. ${\displaystyle {\int }_0^e{\int }_0^{\log x}f(x,y)dydx}$

Ejercicio 4
Halla el valor de la integral (requiere cambiar el orden):

Aplicaciones

Ejercicio 5
Calcula las siguientes áreas:
1.  Área limitada por las curvas $y=x$ y $y=2-x^2$.
2.  Área encerrada por las curvas $xy=4$, $xy=8$, $x{y}^3=5$ y $x{y}^3=15$.

Ejercicio 6
Sea $S$ una región del plano limitada por las curvas que se indican. Calcula la masa y el centro de gravedad de $S$ suponiendo que la densidad es constante e igual a $\rho$.
1. $y=x^2$, $x+y=2$.
2. $y+3=x^2$, $x^2=5-y$.
3. $y={\sin }^{2}x$, $y=0$, $x\in [0,\pi ]$.
4. $y=\sin x$, $y=\cos x$, $x\in [0,\pi /4]$.

Ejercicio 7
Determina las coordenadas del centro de gravedad de la placa:

cuya densidad viene dada por la función $\sigma (x,y)=xy$.

Ejercicio 8
Una placa metálica viene representada por el conjunto del plano:

y su densidad es $\sigma (x,y)=y^2$. Calcula el centro de gravedad y los momentos de inercia con respecto a los ejes.

2. Integrales Triples

Cálculo General

Ejercicio 9
Calcula las siguientes integrales en los recintos que se indican:
1. ${\displaystyle {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(x^2+y^2+z^2)dxdydz}$ donde $\mathrm{\Omega }=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$.
2. ${\displaystyle {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{x}^{3}dxdydz}$ donde $\mathrm{\Omega }=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$.
3. ${\displaystyle {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}y{e}^{-xy}dxdydz}$ donde $\mathrm{\Omega }=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$.
4. ${\displaystyle {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(2x+3y+z)dxdydz}$ donde $\mathrm{\Omega }=[1,2]\times [-1,1]\times [0,1]$.
5. ${\displaystyle {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}z{e}^{x+y}dxdydz}$ donde $\mathrm{\Omega }=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$.

Ejercicio 10
Calcula la integral ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{x}^2\cos xdxdydz$, donde $\mathrm{\Omega }$ es la región limitada por los planos:

Dibuja la región de integración.

Aplicaciones en Sólidos (3D)

Ejercicio 11
Calcula los siguientes volúmenes:
1.  Volumen de la región limitada por $x^2+y^2\le 4$ y $x^2+y^2+z^2\le 16$.
2.  Volumen del sólido limitado por los conos $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ y $z=-1+\sqrt{x^2+y^2}$.
3.  Volumen de la región limitada por el paraboloide $z=x^2+y^2$ y por $x^2+y^2=4$ en $z\ge 0$.
4.  Volumen de la región limitada por $x^2+y^2+z^2<2$, $x^2+y^2\le z$ y $z<6/5$.

3. Cambio de Variables

Ejercicio 12
Calcula, usando coordenadas polares, la integral de la función $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ sobre la región $\mathrm{\Omega }$ definida por el círculo unitario:

Ejercicio 13
Evalúa, usando coordenadas polares, la siguiente integral doble:

Donde $\mathrm{\Omega }$ es la mitad superior del disco de radio 2 (definida por $x^2+y^2\le 4$ y $y\ge 0$).

Ejercicio 14
Calcula, usando coordenadas polares, la integral de la función exponencial sobre la región anular comprendida entre los círculos de radio 1 y radio 3 ($1\le x^2+y^2\le 9$):